奇异值分解

回顾特征值和特征向量

首先特征值和特征向量的定义如下：
$A x = \lambda x$
其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值 $λ1≤λ2≤...≤λn$ ,以及这n个特征值所对应的特征向量 ${w1,w2,...wn}$ ，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
$A = W \Sigma W ^ { - 1 }$

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足 $||wi||^2=1$ , 或者说 $w^T_iw_i=1$ ，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足 $W^TW=I$ ，即 $W^T=W^{−1}$ ,w为正交矩阵

这样我们的特征分解表达式可以写成
$A = W \Sigma W ^ T$

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A 不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：
$A = U \Sigma V ^ { T }$

其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足 $U ^ { T } U = I , V ^ { T } V = I _ { e }$ ,下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
在这里插入图片描述
那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵 $A^TA$ 。既然ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$\left( A ^ { T } A \right) v _ { i } = \lambda _ { i } v _ { i }$

这样我们就可以得到矩阵 $A^TA$ 的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将 $A^TA$ 的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵 $AA^T$ 。既然 $AA^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$\left( AA ^ { T } \right) u _ { i } = \lambda _ { i } u _ { i }$

这样我们就可以得到矩阵 $AA^T$ 的m个特征值和对应的n个特征向量u了。将 $AA^T$ 的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:
$A = U \Sigma V ^ { T } \Rightarrow A V = U \Sigma V ^ { T } V \Rightarrow A V = U \Sigma \Rightarrow A v _ { i } = \sigma _ { i } u _ { i } \Rightarrow \sigma _ { i } = A v _ { i } / u _ { i }$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。
上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。
$A=U\Sigma V^T \Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T \Rightarrow A^TA = V\Sigma^T U^TU\Sigma V^T = V\Sigma^2V^T$
同理U也是。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$

这样也就是说，我们可以不用 $σ_i=Av_i/u_i$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^TA$ 的特征值取平方根来求奇异值。

SVD的一些性质

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
$A _ { m \times n } = U _ { m \times m } \Sigma _ { m \times n } V _ { n \times n } ^ { T } \approx U _ { m \times k } \Sigma _ { k \times k } V _ { k \times n } ^ { T }$

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U _ { m \times k } , \Sigma _ { k \times k } , V _ { k \times n } ^ { T }$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
在这里插入图片描述

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTX，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXT最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：
$X'_{d \times n} = U_{d \times m}^TX_{m \times n}$

可以得到一个d×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。