奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

• 一种矩阵因子分解方法
• 矩阵的奇异值分解一定存在，但不唯一
• 奇异值分解可以看作是矩阵数据压缩的一种方法，即用因子分解的方式近似地表示原始矩阵，这种近似是在平方损失意义下的最优近似

1. 奇异值分解的定义与性质

1.1 定义

$A_{m \times n} = U \Sigma V^T\\ UU^T=I_m\\ VV^T=I_n\\ \Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_p) \\ \sigma_1\ge \sigma_2 \ge...\ge\sigma_p \ge0\\ p=\min(m,n)$

• $U \Sigma V^T$ 称为矩阵 $A$ 的奇异值分解（SVD）， $U$ 是 $m$ 阶正交矩阵， $V$ 是 $n$ 阶正交矩阵， $\Sigma$ 是 $m \times n$ 的对角矩阵
• $\sigma_i$ 称为矩阵 $A$ 的奇异值
• $U$ 的列向量，左奇异向量
• $V$ 的列向量，右奇异向量

1.2 两种形式

1.2.1 紧奇异值分解

上面的SVD称为：完全SVD
$A_{m \times n} = U_r \Sigma_r V_r^T$
紧奇异值分解，仅由前 $r$ 列得到，对角矩阵 $\Sigma_r$ 的秩与原始矩阵 $A$ 的秩相等

1.2.2 截断奇异值分解

只取最大的 k 个奇异值 $(k < r, r 为矩阵的秩)$ 对应的部分，就得到矩阵的截断奇异值分解

• 实际应用中提到的，经常指的 截断SVD

$A_{m \times n} \approx U_k \Sigma_k V_k^T,\quad 0<k<Rank(A)$

• 在实际应用中，常常需要对矩阵的数据进行压缩，将其近似表示，奇异值分解提供了一种方法
• 奇异值分解是在平方损失（弗罗贝尼乌斯范数）意义下对矩阵的最优近似
• 紧奇异值分解—>无损压缩
• 截断奇异值分解—>有损压缩

1.3 几何解释

矩阵的SVD也可以看作是将其 对应的线性变换 分解为 旋转变换、缩放变换及旋转变换的组合。
这个变换的组合一定存在。

1.4 主要性质

• (1) 由 $A=U\Sigma V^T$ 有

$A^TA=(U\Sigma V^T)^T(U\Sigma V^T)=V(\Sigma^T\Sigma)V^T\\ AA^T=(U\Sigma V^T)(U\Sigma V^T)^T=U(\Sigma\Sigma^T)U^T$
对称矩阵 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征分解 可由矩阵 $A$ 的奇异值分解矩阵表示

• (2)
  $AV=U\Sigma \Rightarrow Av_j=\sigma_ju_j,j=1,2,...,n\\ A^TU=V\Sigma^T \Rightarrow A^Tu_j=\sigma_jv_j,j=1,2,...,n;A^Tu_j=0,j=n+1,n+2,...,m$

• (3) SVD奇异值 $\sigma_1,\sigma_1,...,\sigma_n$ 是唯一的，但矩阵 $U,V$ 不唯一

• (4) 矩阵 $A$ 和 $\Sigma$ 的秩相等，等于正奇异值 $\sigma_i$ 的个数 $r$

• (5) 矩阵 $A$ 的 $r$ 个右奇异向量 $v_1,v_2,...,v_r$ 构成 $A^T$ 的值域 的一组标准正交基；
  矩阵 $A$ 的 $n-r$ 个右奇异向量 $v_r+1,v_r+2,...,v_n$ 构成 $A$ 的零空间 的一组标准正交基；
  矩阵 $A$ 的 $r$ 个左奇异向量 $u_1,u_2,...,u_r$ 构成 $A$ 的值域 的一组标准正交基；
  矩阵 $A$ 的 $m-r$ 个左奇异向量 $u_r+1,u_r+2,...,u_m$ 构成 $A^T$ 的零空间 的一组标准正交基

2. 奇异值分解与矩阵近似

2.1 弗罗贝尼乌斯范数

奇异值分解也是一种矩阵近似的方法，这个近似是在弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）意义下的近似
矩阵的弗罗贝尼乌斯范数是 向量的L2范数的直接推广，对应着机器学习中的平方损失函数

设矩阵 $A=[a_{ij}]_{m \times n}$, 其弗罗贝尼乌斯范数为： $||A||_F = \bigg( \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n(a_{ij})^2\bigg)^{1/2}$

假设 $A$ 的奇异值分解为 $A=U\Sigma V^T$ ，其中对角矩阵 $\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_p)$，则 $||A||_F = \bigg(\sigma_1^2+\sigma_2^2+...+\sigma_n^2\bigg)^{1/2}$

2.2 矩阵的最优近似

奇异值分解 是在平方损失（弗罗贝尼乌斯范数）意义下对矩阵的最优近似，即数据压缩

• 紧奇异值分解：是在弗罗贝尼乌斯范数意义下的无损压缩
• 截断奇异值分解：是有损压缩。截断奇异值分解得到的矩阵的秩为k，通常远小于原始矩阵的秩r，所以是由低秩矩阵实现了对原始矩阵的压缩

2.3 矩阵的外积展开式

矩阵 $A$ 的奇异值分解 $U\Sigma V^T$ 也可以由外积形式表示

• 将 $A$ 的奇异值分解看成矩阵 $U\Sigma$ 和 $V^T$ 的乘积，将 $U\Sigma$ 按列向量分块，将 $V^T$ 按行向量分块，即得
  
  

3. 奇异值分解Python计算

import numpy as np
a = np.random.randint(-10,10,(4, 3)).astype(float)
print(a)
print("-----------------")
u, sigma, vT = np.linalg.svd(a)
print(u)
print("-----------------")
print(sigma)
print("-----------------")
print(vT)
print("-----------------")
# 将sigma 转成矩阵
SigmaMat = np.zeros((4,3))
SigmaMat[:3, :3] = np.diag(sigma)
print(SigmaMat)
print("------验证-------")
a_ = np.dot(u, np.dot(SigmaMat, vT))
print(a_)

结果：

[[-6.  8.  9.]
 [ 6.  8. -8.]
 [ 6. -1.  2.]
 [ 6.  9. -9.]]
-----------------
[[-0.30430452  0.93673281  0.17295875 -0.00395842]
 [ 0.64134399  0.19762952  0.04109474 -0.74022408]
 [ 0.06410812 -0.16033168  0.98267774  0.0672931 ]
 [ 0.70140345  0.24034966 -0.05235412  0.66897256]]
-----------------
[19.56867211 12.83046891  6.0370638 ]
-----------------
[[ 0.52466311  0.45709993 -0.71818401]
 [-0.30821258  0.88838353  0.34026417]
 [ 0.79355758  0.04282928  0.60698602]]
-----------------
[[19.56867211  0.          0.        ]
 [ 0.         12.83046891  0.        ]
 [ 0.          0.          6.0370638 ]
 [ 0.          0.          0.        ]]
------验证-------
[[-6.  8.  9.]
 [ 6.  8. -8.]
 [ 6. -1.  2.]
 [ 6.  9. -9.]]