【BZOJ1060】[ZJOI2007] 时态同步（树形DP）

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大致题意： 给你一棵带权树，每次使用道具可以将某条边的边权加 $1$ ，问你至少需要使用多少次道具，才能使每个叶子节点到根节点的距离相等。

贪心的思想

首先，我们应该先有一个贪心的思想。

不难发现，如果要将以 $x$ 为根节点的子树内的所有边权加上 $val$ ，不如直接将 $x$ 到 $fa_x$ 的边权加上 $val$ 更优。

这样一来就有一个基本思路：对于以 $x$ 为根节点的子树，我们只需用最少的道具使每个叶节点到 $x$ 的距离相等即可。

那么就可以用上 树形 $DP$ 了。

$Link$

树形 $DP$ 详见博客动态规划专题（二）——树形DP

核心过程

下面稍微讲一下 $DP$ 的核心转移过程。

我们可以用 $f_{i}$ 来表示使以 $i$ 为根节点的子树的所有叶节点到 $i$ 的距离相等所用的最少道具次数，用 $g_i$ 来表示此时所有叶节点到 $i$ 的距离，并用一个变量 $tot$ 记录当前已操作了几个叶节点。

则对于 $i$ 的一个子节点 $son$ ，若 $i$ 与 $son$ 之间的边权为 $val$ ，则无非有以下两种情况：

$g_{son}+val>g_i$ 。对于这种情况，就说明之前操作过的 $tot$ 个节点到 $i$ 的距离全部偏小了，因此将 $f_i$ 加上 $tot*(g_{son}+val-g_{i})$ ，并将 $g_i$ 更新为 $g_{son}$ 。
$g_{son}+val≤g_i$ 。对于这种情况，我们只需将 $f_i$ 加上 $g_i-g_{son}-val$ 即可。

还有一个细节，就是注意每次要将 $f_i$ 加上 $f_{son}$ ！（不过我相信这么智障的错误除了我没人会犯）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 500000
#define add(x,y,z) (e[++ee].nxt=lnk[x],++deg[e[lnk[x]=ee].to=y],e[ee].val=z) 
using namespace std;
int n,rt,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];
struct edge
{
	int to,nxt,val;
}e[2*N+5];
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
	public:
		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
		inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
		inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_TreeDP//树形DP
{
	private:
		LL f[N+5],g[N+5];//f[i]表示使以i为根节点的子树的所有叶节点到i的距离相等所用的最少道具次数，g[i]表示此时所有叶节点到i的距离
		inline void DP(int x,int lst)
		{
			for(register int i=lnk[x],tot=0;i;i=e[i].nxt)//变量tot记录当前已操作了几个叶节点
			{
				if(!(e[i].to^lst)) continue;
				DP(e[i].to,x),f[x]+=f[e[i].to];//对该子节点进行DP，并将f[x]加上f[e[i].to]
				if(g[e[i].to]+e[i].val>g[x]) f[x]+=1LL*tot*(g[e[i].to]+e[i].val-g[x]),g[x]=g[e[i].to]+e[i].val;//如果g[e[i].to]+e[i].val，就说明之前操作过的tot个节点到i的距离全部偏小了
				else f[x]+=1LL*g[x]-g[e[i].to]-e[i].val;//否则，直接将f[x]加上g[x]-g[e[i].to]-e[i].val即可。
				++tot;//将tot加1
			}
		}
	public:
		inline LL GetAns() {return (void)(DP(rt,0)),f[rt];} 
}TreeDP; 
int main()
{
    register int i,x,y,z;
    for(F.read(n),F.read(rt),i=1;i<n;++i) F.read(x),F.read(y),F.read(z),add(x,y,z),add(y,x,z);
    return F.write(TreeDP.GetAns()),F.end(),0;
}