[数学建模]数学建模算法和模型（B站视频）（七）
排队论
模型背景
排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。
1909年，丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。
排队现象
| 到达顾客 | 服务内容 | 服务机构 |
|---|---|---|
| 病人 | 诊断/手术 | 医生/手术台 |
| 进港的货船 | 装货/卸货 | 码头泊位 |
| 到港的飞机 | 降落 | 机场跑道 |
| 电话拨号 | 通话 | 交换台 |
| 故障机器 | 修理 | 修理技工 |
| 修理技工 | 领取修配 | 零件仓库管理员 |
| 上游河水 | 入库 | 水闸管理员 |
模型介绍
（1）由于顾客到达和服务时间的随机性，
现实中的排队现象几乎不可避免；
（2）排队过程，通常是一个随机过程，
排队论又称“随机服务系统理论”；
排队服务过程
排队系统的要素
（1）顾客输入过程；
（2）排队结构与排队规则；
（3）服务机构与服务规则；
顾客输入过程
顾客源(总体)：有限/无限;
顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形)
顾客到达间隔：随机型/确定型;
顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；
输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)
排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制);
排队系统容量：有限制/无限制;
排队队列数目: 单列/多列;
是否中途退出: 允许/禁止;
是否列间转移: 允许/禁止;
(仅研究禁止退出和转移的情形)
服务机构与服务规则
服务台(员)数目;单个/多个;
服务台(员)排列形式;并列/串列/混合;
服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形)
服务时间分布;随机型/确定型;
服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形)
服务台(员)为顾客服务的顺序:
a)先到先服务(FCFS);
b)后到先服务(LCFS);
c)随机服务;
d)优先服务;
到达间隔和服务时间典型分布
（1）泊松分布M ；
（2）负指数分布M ；
（3）k阶爱尔朗分布Ek；
（4）确定型分布D；
（5）一般服务时间分布G；
排队模型示例
——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1；
——M/M/c，M/M/c/∞/m，
——M/M/c/N/∞，。。。
（一）系统运行状态参数
系统状态N(t)
——指排队系统在时刻t时的全部顾客数N(t)，包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”；
系统状态概率：
(1)瞬态概率Pn(t)
——表示时刻t系统状态N(t)=n 的概率;
(2) 稳态概率Pn
——Pn=Pn(t);
——一般排队系统运行了一定长的时
间后，系统状态的概率分布不再随时间
t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的
概率分布(Pn(0)，n>>0）的影响将消失。
(二)系统运行指标参数
——评价排队系统的优劣。
1、队长与排队长
(1)队长: 系统中的顾客数（n）期望值记为Ls ；
(2)排队长: 系统中排队等待服务的顾客数;
期望值记为Lq
2、逗留时间与等待时间
(1)逗留时间:
——指一个顾客在系统中的全部停留时间；
期望值，记为Ws
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；
期望值，记为Wq
Ws = Wq + E[服务时间]
3、其他相关指标
(1)忙期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
而离去的概率；
(4)服务强度：ρ= λ/sμ；
顾客到达时间间隔分布
——————————————泊松流与泊松分布
满足条件
如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流:
(1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数
相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔内，到达
1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔
成正比(平稳性)：
(3) 对于充分小的时间间隔，2个及以
上顾客到达的概率可忽略不计(普通性)。
分布方式
1.泊松流到达间隔服从负指数分布
若顾客到达间隔T的概率密度为
则称T服从负指数分布，分布函数如下：
若顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔
服从上述负指数分布
E[T]=1/λ; Var[T]=1/λ2; σ[T]=1/λ
2.顾客服务时间分布服从负指数分布
(1) 对一个顾客的服务时间Ts，等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布，其概率密度和分布函数分别为
则E[Ts]=1/μ; Var[Ts]=1/ μ2; σ[Ts]=1/ μ
(2) E[Ts]=1/μ：每个顾客的平均(期望)服务时间；
μ:单位时间服务的顾客数，平均(期望)服务率；
3.单服务台负指数分布M/M/1排队系统
模型的条件是：
1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从泊松分布且是平稳的
2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；
3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布。
对于M／M／1模型有如下公式：
例题：
某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队队系统进行分析。
解：
对此排队队系统分析如下：
（1）先确定参数值：这是单服务台系统，有：
故服务强度为：
故服务强度为：
计算稳态概率：
这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。而病人需要等待的概率则为：
ρ =1− P0 = 0.75
这也是急诊室繁忙的概率。
（2）计算系统主要工作指标。
急诊室内外的病人平均数：
急诊室外排队等待的病人平均数：
病人在急诊室内外平均逗留时间：
病人平均等候时间：
4.M/M/S模型
此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。
整个系统的平均服务率为sμ，ρ＝λ/sμ，（ρ<1）为该系统的服务强度。
状态概率
主要运行指标
系统状态N ≥S的概率
例题：
承接例1，假设医院增强急诊室的服务能力，使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分析该系统工作情况。
解：
这相当于增加了一个服务台，故有：
S=2,λ=3人/h，μ=4人/h
病人必须等候的概率,即系统状态N≥2的概率：
代码：（只需输入μ和λ和s）
s=2;
mu=4;
lambda=3;
ro=lambda/mu;
ros=ro/s;
sum1=0;
for i=0:(s-1)
sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);
end
sum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);
p0=1/(sum1+sum2);
p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);
Lq=p.*ros/(1-ros);
L=Lq+ro;
W=L/lambda;
Wq=Lq/lambda;
fprintf('排队等待的平均人数为%5.2f人\n',Lq)
fprintf('系统内的平均人数为%5.2f人\n',L)
fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)
fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)
修改程序例题：
某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/S型的排队服务模型。求：该系统的运行指标 ：
解：
将前三行代码修改为：
s=3;
mu=24;
lambda=54;
输出结果：
排队等待的平均人数为 1.70人
系统内的平均人数为 3.95人
平均逗留时间为 4.39分钟
平均等待时间为 1.89分种
可得：
（1）整个挂号间空闲的概率
附件：MM1代码:
clear
clc
%*****************************************
%初始化顾客源
%*****************************************
%总仿真时间
Total_time = 10;
%队列最大长度
N = 10000000000;
%到达率与服务率
lambda = 10;
mu = 6;
%平均到达时间与平均服务时间
arr_mean = 1/lambda;
ser_mean = 1/mu;
arr_num = round(Total_time*lambda*2);
events = [];
%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔
events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num);
%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和
events(1,:) = cumsum(events(1,:));
%按负指数分布产生各顾客服务时间
events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num);
%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数
len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time);
%*****************************************
%计算第 1个顾客的信息
%*****************************************
%第 1个顾客进入系统后直接接受服务，无需等待
events(3,1) = 0;
%其离开时刻等于其到达时刻与服务时间之和
events(4,1) = events(1,1)+events(2,1);
%其肯定被系统接纳，此时系统内共有
%1个顾客，故标志位置1
events(5,1) = 1;
%其进入系统后，系统内已有成员序号为 1
member = [1];
for i = 2:arr_num
%如果第 i个顾客的到达时间超过了仿真时间，则跳出循环
if events(1,i)>Total_time
break;
else
number = sum(events(4,member) > events(1,i));
%如果系统已满，则系统拒绝第 i个顾客，其标志位置 0
if number >= N+1
events(5,i) = 0;
%如果系统为空，则第 i个顾客直接接受服务
else
if number == 0
%其等待时间为 0
2009.1516
%PROGRAMLANGUAGEPROGRAMLANGUAGE
events(3,i) = 0;
%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和
events(4,i) = events(1,i)+events(2,i);
%其标志位置 1
events(5,i) = 1;
member = [member,i];
%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则 第 i个顾客进入系统
else len_mem = length(member);
%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到 达时刻
events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i);
%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服
%务时间
events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i);
%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数
events(5,i) = number+1;
member = [member,i];
end
end
end
end
%仿真结束时，进入系统的总顾客数
len_mem = length(member);
%*****************************************
%输出结果
%*****************************************
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离
%开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图）
stairs([0 events(1,member)],0:len_mem);
hold on;
stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r');
legend('到达时间 ','离开时间 ');
hold off;
grid on;
%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等
%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图）
figure;
plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-');
legend('等待时间 ','停留时间 ');
grid on;
