用最优控制视角看微分几何下的测地线

测地线是微分几何下一个很重要的研究领域。一般求解测地线需要借助于Liouvile方程组，今天博主尝试用最优控制下的E-L方程来研究测地线（角度比较刁钻）。后续的博文也会基于此展开，然后介绍最近比较火热的双曲几何以及其在NLP和RS任务下的应用。

微分几何下的球

下面从球球开始入手。
$$x^2+y^2+z^2=a^2$$
为这个球球建立一下面的方程
$$\mathbf{r}(\theta ,\varphi )=(a\cos \theta \cos \varphi ,a\cos \theta \sin \varphi ,a\sin \theta )$$
建立正交的路网
$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_{\theta }=(-a\sin \theta \cos \varphi ,-a\sin \theta \sin \varphi ,a\cos \theta ) \\ {\mathbf{r}}_{\varphi }=(-a\cos \theta \sin \varphi ,a\cos \theta \cos \varphi ,0) \end{gathered}$$
然后开始第一曲面方程的建立
$$\begin{gathered} E=<{\mathbf{r}}_{\theta },{\mathbf{r}}_{\theta }>=a^2 \\ F=<{\mathbf{r}}_{\theta },{\mathbf{r}}_{\varphi }>=0 \\ G=<{\mathbf{r}}_{\varphi },{\mathbf{r}}_{\theta }>=a^2{\cos }^2\theta \end{gathered}$$
可见这个$F$确实是$0$，正交的很。然后就很顺利地得到
$$I=d{s}^2=a^2(d{\theta }^2+{\cos }^2\varphi d{\varphi }^2)$$
最后注意取值范围啦啦
$$-\pi <\varphi <\pi ,-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$$
仔细看，此时$\varphi ,\theta$都落到了方阵里头去了！那么是不是可以把$\varphi \to y,\theta \to x$？（简单的变量代换一下）
$$I=d{s}^2=a^2(d{x}^2+{\cos }^{2}xd{y}^2)$$

最优控制下的测地线

如何求出球面上的测地线呢？结论就是大圆路径（全剧终）。然后我们用最优控制下的E-L方程来画蛇添足的解一解看看。首先简单复习E-L方程
$$\min J(y)={\int }_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{\prime })dx$$
其有解为
$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0$$
回到测地线的问题
$$ds=a\sqrt{1+{\cos }^{2}x{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$$
可以得到
$$\min s=a{\int }_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+({\cos }^{2}x)(y^{\prime }{)}^2}dx$$
简单解一下这个方程
$$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }{\cos }^{2}x}{\sqrt{1+({\cos }^{2}x)(y^{\prime }{)}^2}},\frac{\partial F}{\partial y}=0$$
因此有
$$\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0\to \frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=K$$
式中的$K$为常数，后面需要求解。因此有
$$\frac{y^{\prime }{\cos }^{2}x}{\sqrt{1+({\cos }^{2}x)(y^{\prime }{)}^2}}=K$$
简单解一解
$$\begin{gathered} (y^{\prime }{)}^2({\cos }^{4}x)=K^2(1+({\cos }^{2}x)(y^{\prime }{)}^2) \\ ({\cos }^{4}x-K^2{\cos }^{2}x)(y^{\prime }{)}^2=K^2 \\ {y}^{\prime }=\frac{K}{\sqrt{{\cos }^{4}x-K^2{\cos }^{2}x}}=\frac{K}{\cos x\sqrt{{\cos }^{2}x-K^2}} \end{gathered}$$
此时给出了一个可以用数值优化得到的微分方程，利用端点的信息，可以求出$K$和积分后的常数项$C$。