敲砖块 动态规划

敲砖块

注意：感谢Enquir大佬提供的hack数据，本题解仅提供正确思路，代码仅供参考，代码可被以下数据攻破

input:
2 1
2 1
2

output:1
answer:2

题目描述

在一个凹槽中放置了N层砖块，最上面的一层有N块砖，从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值，敲掉这块砖就能得到相应的分值，如图所示。

如果你想敲掉第i层的第j块砖的话，若i=1，你可以直接敲掉它，若i＞1，则你必须先敲掉第i-1层的第j和第j+1块砖。

你现在可以敲掉最多M块砖，求得分最多能有多少。

输入格式

输入文件第一行有两个正整数N和M；

接下来的N行，描述这N层砖块上的分值A[i，j]，满足0≤A[i，j]≤100。

输出格式

仅一行，包含一个整数，为最大的得分。

输入样例

4 5
2 2 3 4
8 2 7
2 3
49

输出样例

19

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解题思路

题目大意：给你一个像上面这样的三角形，如果你想敲掉第i层的第j块砖的话，若i=1，你可以直接敲掉它，若i＞1，则你必须先敲掉第i-1层的第j和第j+1块砖，求得分最多能有多少。

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看到这个题目是不是有点感觉？本题与这一道动态规划新手必刷题有点相像，然而上洛谷查了一下，本题难度那一道题是，简直是天壤之别了。
好了，废话不多说，开始解题！

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对于这种最值问题，脑海中第一个想法就是：动态规划

看着题目中的条件，一个隐隐约约的转移方程在脑海中浮现：
设$f[k][i][j]$表示敲第$k$块砖敲到$(i,j)$的最大值，
$f[k][i][j]=max(f[k][i][j],f[k-1][i-1][j]+f[k-1][i-1][j+1])$
老哥，能不能别这么冲动 很显然，我们可以得到一个错解，并且我们很快意识到，如果是以这种解法去做的话，是有后效性的，而动态规划是无后效性的，简单来说，我们不能让过去的决策影响未来的决策，不走回头路。

我们的思考陷入了僵局，不如换个角度思考问题，既然从上往下，从下往上推都不行，不妨试试从左往右推或者从右往左推。
我们先来整理一下这个三角形：

紧接着，我们要在这个三角形上发掘一些有用的信息，如果我们要敲掉$(i,j)$，那么$(i-1,j),(i-2,j)\cdots (2,j)，(1,j)$都是要敲掉的。
而且我们还要敲掉$(i-1,j+1)$，但是敲掉$(i-1,j+1)$的办法不止一种，就像下面这张图：

在这张图中，我们目标敲掉$(2,2)$，绿色格子就是我们要敲掉同一列的格子，然后在红色箭头指向的两个格子中任意一个被敲掉，$(2,2)$都能敲掉。
斜上箭头指着的格子就是$(i-1,j+1)$即$(1,3)$；
下面那个格子$(2,3)$如果被敲掉了，那么根据我们上面的规则，$(1,3)$一定会被敲掉，因为这两个格子在同一列。
由此我们可以知道，对于目标$(i,j)$，要敲掉$(i-1,j+1)$可以去敲$(i-1,j+1),(i,j+1),(i+1,j+1),\cdots ,(n-(i+1)+1,j+1)$。

好了，到这一步我们得出一个比较明显的结论：
$$f[i][j]=max(f[i-1][j+1],f[i][j+1],f[i][j+1],\cdots ,f[n-i][j+1])+\sum _{k=1}^{i}a[k][j]$$

我们再将敲了第几个考虑进去，设$f[k][i][j]$表示已经敲了$k$个且第$k$个敲了$(i,j)$的最大的分情况，根据上面的规则，当前一步敲了$(i,j),(i-1,j),(i-2,j)\cdots (2,j)，(1,j)$一共$i$块砖，可得式子：
$$f[k][i][j]=\underset{i-1\le l\le n-i}{\max }(f[k-i][l][j+1])+\sum _{p=1}^{i}a[p][j]$$
我们的答案就是在所有的$f[k][i][j]$里寻找的最大值了。

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代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;
int n,m,ans;
int a[55][55],sum[55][55];
int f[55][55][555];

int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
			cin>>a[i][j];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
			sum[j][i]=sum[j-1][i]+a[j][i];//每一列的前缀和 
			
	memset(f,-1,sizeof(f));
	f[0][n+1][0]=0;//初始化
	
	for(int i=n;i>=1;i--)//从最后一列开始 枚举i 
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++)//从第一行开始 枚举j 
			for(int k=j;k<=m;k++)//枚举打掉(j,i)后一共已经打多少块砖 枚举k 
			{
    
    
				for(int p=j-1;p<=n-i;p++)//枚举p 上一步在p行 
					if(k-j>=0&&f[p][i+1][k-j]!=-1)//k-j可能为负数，万分小心！
					{
    
    
						f[j][i][k]=max(f[j][i][k],f[p][i+1][k-j]+sum[j][i]);
						ans=max(ans,f[j][i][k]);
					}
			}
	cout<<ans;
	return 0;
}