简单数论总结（整除）

整除的几个性质

1. 传递性：如果$a|b$且$b|c$，则$a|c$
   证明：
   $\because a|b$ $\therefore$令$a\times x=b(x\in Z$且$x\ne 0)$
   $\because b|c$ $\therefore$令$b\times y=c(y\in Z$且$y\ne 0)$
   $\therefore$即证：$a|a\times x\times y$
   显然成立，得证

2. $a|b$且$a|c$可化为对于任意的整数$x$，$y$，有$a|(bx+cy)$
   证明：
   $as=b$$(s\ne 0,s\in Z)$
   $at=c$$(t\ne 0,t\in Z)$
   $\therefore bx+cy=asx+aty=a(sx+ty)$
   $\therefore$即证：$a|a(sx+ty)$
   显然成立，得证

3. 设$m$不为$0$，则$a|b$等价于$ma|mb$
   证明：
   额……这个就不证了吧

4. 设整数$x,y$满足下式：$ax+by=1$，且$a|n$，$b|n$，那么$(ab)|n$
   证明$(ab)|n$
   $as=n$$(s\ne 0,s\in Z)$
   $bt=n$$(t\ne 0,t\in Z)$
   欲证：$(ab)|n$
   即证：$\frac{n}{ab}\in Z$
   又$\because \frac{n}{ab}=n\times \frac{1}{ab}=n\times \frac{ax+by}{ab}=n\times (\frac{x}{b}+\frac{y}{a})=\frac{n\times x}{b}+\frac{n\times y}{a}=tx+sy$
   $\therefore$$\frac{n}{ab}\in Z$，得证

5. 若$b=q\ast d+c$，那么$d|b$的充要条件是$d|c$
   自己证吧，我不想打了……（提示：$b=qd+xd=(q+x)d,(x\ne 0,x\in Z)$ ）

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数论小常识

较简单，就不解释了。

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模运算的分配率

对于整数$a$，$b$，其中$b$不为$0$，求$a$除以$b$的余数，称为$a$模$b$，记为$a\%b$.
模运算的性质：

分配率：模运算对加、减、乘具有分配率

假设对整数$a,b,m1,m2,n$ ：

1. $a=k1\times n+m1$
2. $b=k2\ast n+m2$

因此$(a\times b)\%n=(a\%n)\ast (b\%n)=m1\times m2$

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模运算的放缩性

1. 证明：
   设$a=b\times s+c$
   $\therefore a\times d=(b\times s+c)\times d$
   $\therefore b\times d\times s+c\times d=a\times d$
   则原式显然成立
2. 证明：
   设$a=b\times s+c$
   $\frac{b}{d}\times s+\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$
   $\therefore (\frac{b}{d},\frac{a}{b},s\in Z)$
   $\therefore \frac{a}{c}\in Z$

附加第三个式子：

$\frac{a}{b}\%c=\frac{a\%(b\times c)}{b}$

证明：
由缩放性1的性质可得：在两边同时乘上$b$可以发现，两式子相同……

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运用：快速幂
例子可见本人博客。

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