简单数论的题解

给定n,pn,p，求值：

$[ (\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 j^2 ) \times 36 ]mod \ p$

让大家接触提前接触一下数论

$[ (\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i^2 j^2 ) \times 36 ]mod \ p$

这道题的意思是什么呢？

我相信我打一个暴力大家也懂了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,s=0,x;
int main(){
	cin>>n>>x;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			s+=i*i+j*j;
	s*=36;
	s%=x;
	cout<<s;
   return 0;
}

这样写，大概能得30分

这不就是平方和吗，每个数的平方算了2n次
$[ (\sum_{i=1}^n i^2 \times 2n ) \times 36 ] \bmod \ p$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,s=0,x;
int main(){
	cin>>n>>x;
	for(int i=1;i<=n;i++)s+=i*i*n*2;
	s%=x;
	s*=36;
	s%=x;
	cout<<s;
   return 0;
}

这样写大概能得50分

我们继续推

我们知道

$\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac{n \times (n+1) \times (2n+1)}{6}$

把这个带入式子

$[ (\sum_{i=1}^n i^2 \times 2n ) \times 36 ] \bmod \ p \\ = [ (\dfrac{n \times (n+1) \times (2n+1)}{6} \times 2n ) \times 36 ] \bmod \ p \\= [n \times (n+1) \times (2n+1) \times n \times 12 ] \bmod \ p \\ = \{[ n \times (n+1) \times (2n+1)]^2 \} \bmod \ p$

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n,p;
	cin>>n>>p;
	long long ans=n;
	ans*=n+1;
	ans%=p;
	ans*=2*n+1;
	ans%=p;
	ans*=ans;
	ans%=p;
	cout<<ans;
	return 0;
}