Notas de estudo sobre simplificação de grade (QEM)

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Simplificação de malha (QEM)

Simplificação de malha (QEM)

1 Visão Geral e Princípio

A simplificação da malha simplifica a expressão do modelo, reduzindo o número de vértices, arestas e faces de dados de malha complexos.No campo dos gráficos, essa tecnologia também é chamada de Nível de detalhes (LOD, detalhes de vários níveis).

1.1 Aplicação da simplificação da malha

Renderização multi-resolução : Para modelos com tamanhos de projeção menores (exibidos à distância), uma versão simplificada pode ser renderizada para substituir a malha original de alta complexidade com detalhes ricos, melhorando a eficiência da renderização.
Simulação proxy : execute a simulação em um modelo simplificado e, em seguida, obtenha resultados aproximados da simulação da grade complexa original por meio do método de interpolação para melhorar a eficiência da simulação. $^{[1]}$

1.2 Operações simplificadas comuns

Dizimação de vértices

Selecione um vértice para excluir, remova as faces adjacentes a esse vértice e triangule novamente o furo resultante.
Clustering de vértices

Divida a caixa delimitadora da grade original em uma grade, agrupe os vértices de cada célula em uma e atualize as faces da grade com base nos vértices agrupados.
Contração da borda

$(v_1,v_2)\rightarrow{\overline{v}}$ , reduza uma aresta até um ponto e exclua faces degeneradas (sombreadas na imagem acima).
Contração de par

Como uma generalização da contração das arestas, se o par de pontos $v_1,v_2)$ é uma aresta, então é equivalente à contração da aresta; se o par de pontos $v_1,v_2)$ não é uma aresta, então diminuir o par de pontos conectará as partes originalmente desconectadas.

1.3 Medição de erro quadrático

Para garantir que a distância local entre os vértices reduzidos e a malha original não seja muito grande, escolhemos um método baseado em uma métrica de distância quadrática para encontrar o ponto ideal de redução.

Encontre o ponto de contração ideal com base na distância quadrática

imagem-20230730174452604

Para a derivação da fórmula aqui, consulte a explicação detalhada do método QEM de simplificação de grade , que é explicado de forma muito clara no artigo.

Considere um encolhimento de borda. Para dois pontos $v_1, v_2$ , encolhe em um ponto $\bar{v}$ 。定义 plano $\left(v_i\right)$ significa $v_i$ As superfícies triangulares originais correspondentes, então nosso objetivo de otimização é
$\bar{v}=\ underset{ v}{\arg \min } \sum_{p \in \text { avião }\left(v_1\right) \cup \text { avião }\left(v_2\right)} \operatorname{distância}(v , p )^2$
O seguinte simplifica passo a passo. Deixe o avião $A expressão de p$ é $um x + por_+ cz + d = 0$ , onde $a^2+b^2+c^2=1$ 。记 $v=[x, y, z, 1]^T, p=[a, b, c , d]^T$ ，可得
$\nome do operador{distância}(v, p)^2=\left(v^T p\ direita)^2=v^T pp^T v=v^T K_p v$ $K_p=pp^$
T $K = p p^{T}$ ，则原式简化为
$\bar{v}=\underset{v}{\arg \ min }\espaço v^T\left(\sum_{p \in \text { avião }\left(v_1\right) \cup plane\left(v_2\right)} K_p\right) v$
此处取约等于
$\bar{v} \approx \underset {v}{\arg \min }\space v^T\left(\sum_{p \in \operatorname{plano}\left(v_1\right)} K_p+\sum_{p \in \operatorname{plane}\left (v_2\direita)} K_p\direita) v$
令 $Q_i=\sum_{p \in \text { plano }\left(v_i\right)} K_p$ ，则有
$\bar{v}=\underset{v}{\arg \min }\space v^T\left(Q_1+Q_2\right )v$
Quando $v$ $\operatorname{plane}(v)$ está definido para o ponto $\mathrm{v}$ As faces triangulares em torno de $v são suficientes.$ Neste momento, a aproximação do sinal de igual acima não é grande coisa, pois uma superfície triangular se repete no máximo três vezes (três vértices), o que não só não traz grandes erros, mas também simplifica o cálculo.
Além disso, $K_p$ é uma matriz simétrica, então $O mesmo vale para Q$ , portanto ele só precisa armazenar 10 elementos.
Neste momento, resolva $\bar{v}$ tornam-se os pontos extremos da resolução da função quadrática. $^{[2]}$

令 $Q=Q_1+Q_2$ , resolva $\bar{v} resolvendo a seguinte equação$ 的坐标：
$\left[{\begin{ matriz}{cccc}q_{11}&q_{12}&q_{13}&q_{14}\\q_{12}&q_{22}&q_{23}&q_{24}\\q_{13}&q_{23}&q_ {33}&q_{34}\\0&0&0&1\end{array}}\right]\bar{v}=\left[{\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{ matriz}}\direita]$
Na fórmula acima, $q_{11}$ significa O valor do primeiro elemento da primeira linha de $Q$ $\bar{v}$ são usadas. Se a matriz no lado esquerdo da fórmula acima for invertível, então
$\bar{v}=\left[{\begin{array}{cccc}q_{11}&q_{12}&q_{13}&q_{14}\\q_{12}&q_{22} &q_{23}&q_ {24}\\q_{13}&q_{23}&q_{33}&q_{34}\\0&0&0&1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{ matriz}{c} 0\\0\\0\\1\end{array}}\direita]$
Se irreversível, então $^{[4]}$
$vv=(1-k)v_1+kv_2 ,\text{onde}\space{k}\in[0,1]\\ \bar{v}=\underset{v}{\arg \min }\space v^T\left(Q_1+Q_2\right )v$
ainda não funcionar, selecione os endpoints $v_1, v_2$ Ou ponto médio $\frac{v_1+v_2}2$ Erro entre os três ( $\Delta(v)=v^TQv$ ) mínimo como $\bar{v}$ $^{[3]}$ 。

2 Processo de algoritmo

imagem

Fonte da figura: simplificação da grade QEM - Jianshu (jianshu.com)

2.1 Análise passo a passo

de todos os vértices iniciaisMatriz $Q$

Deixe o avião $A expressão de p$ é $um x + por_+ cz + d = 0$ , onde $a^2+b^2+c^2=1$ 。记 $p=[a, b, c, d]^T$ _ A partir disso, definimos $Q_i$ (4x4, ponto $v_i$ alvo $Matriz Q$ ) como segue:
$Q_i=\sum_{p\in planes(v_i)}pp^T$
Escolha um par legal

Um par de vértices $v_i,v_j)$ é um par de pontos válido:
- $v_i,v_j)$ é uma aresta;
- $v_i − v_j‖ <t$ , $t$ é o parâmetro limite.
Basta satisfazer uma das condições acima.
Calcule cada par de pontos legais $v_i,v_j)$ o erro mínimo de contração $cost_{ij}$ , e o ponto de contração ideal $v_{opt}$ posição

Primeiro calcule $v_{opt}$ Q opt correspondente $Q_{opt}$ :
$Q_{opt}=Q_i+Q_j=\begin{bmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}&q_{14}\\q_{12}&q_{22}&q_{23}&q_{24}\\ q_{13}&q_{32}&q_{33}&q_{34}\\q_{14}&q_{24}&q_{34}&q_{44}\end{bmatriz}.$ $custo_{ij$
} $custo_$ Exemplo:
$cost_{ij}=v^TQ_{opt}v$
minimiza o erro de encolhimento e obtém $v_{opt}$ . Para cálculos específicos, consulte a seção anterior [Medição de erro quadrático] (#1.3 Medição de erro quadrático).
Pressione todos os pares de pontos legais de acordo com seu $cost_{ij}$ são colocados em uma pilha em ordem, com $cost_{ij}$ par no topo

Geralmente, pequenos heaps de raiz são usados para classificação.
Remova o $cost_{ij}$ Par de pontos correspondente, contração $(v_i,v_j)\rightarrow{v_{opt}}$ , atualize todos os itens contendo $v_i$ ou $v_j$ do par de pontos legais $custo_$

Esta etapa é realizada de forma iterativa, e o sinal final é que a taxa de simplificação definida foi atingida ou o heap está vazio $^{[5]}$ 。

3 Implementação de código Python

Em termos de implementação de código, recomenda-se estudar diretamente este projeto: Mesh_simplification_python: Uma implementação de algoritmo de simplificação de malha usando python.O código é totalmente comentado e bem organizado, valendo a pena aprendê-lo.

3.1 Resultados do teste

Malha do modelo de entrada (9.397 vértices, 18.794 faces):

imagem-20230802000140688

$t=0,\razão espacial=0,5$ （4698 vértices, 9396 faces）：

imagem-20230802000230337

$t=0,\razão espacial=0,1$ （939 vértices, 1878 faces）：

imagem-20230802000546218

4 Resumo

Otimização da função de código

Os dois detalhes a seguir também foram mencionados no artigo original:
- preservar limites
  
  Para algumas malhas de modelo que precisam manter limites durante o processo de simplificação, determinamos se o par de pontos é uma borda de limite quando o par de pontos diminui. Nesse caso, podemos ponderar o custo do par de pontos com um fator de penalidade maior para evitar o encolhimento .
- Evite que a massa vire
  
  O uso direto do algoritmo QEM para simplificação da malha pode fazer com que alguns patches sejam alterados. Portanto, ao calcular o custo de contração de um par de pontos, precisamos determinar simultaneamente se cada trecho adjacente do par de pontos foi invertido. O tamanho do ângulo entre os vetores normais do encolhimento antes e depois pode ser usado para julgar. Ao mesmo tempo, também punimos os seus custos.

referência

[1] GAMES102:几何建模与处理
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/411865616
[3] Michael Garland e Paul S. Heckbert. 1997. Simplificação de superfície usando métricas de erro quádrica. Nos Anais da 24ª conferência anual sobre Computação Gráfica e Técnicas Interativas (SIGGRAPH '97). ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., EUA, 209–216. https://doi.org/10.1145/258734.258849
[4] https://www.jianshu.com/p/2bf615c38165
[5] https://github.com/AntonotnaWang/Mesh_simplification_python