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prefácio
Este artigo analisa detalhadamente o momento M \boldsymbol{M} projetado no sistema de coordenadas em movimentoM e momento do momentoH \boldsymbol{H}A relação entre H.
1. Momento M \boldsymbol{M}M e momento do momentoH \boldsymbol{H}O que é H ?
Momento M \boldsymbol{M}M é o momento externo total do corpo rígido em relação ao centro de massa do corpo rígido, que está relacionado com a força e o braço do momento que cada elemento de massa recebe sem passar pelo centro de massa; o momento de momento H
\boldsymbol {H}H é o momento externo total do momento do corpo rígido em relação ao centro de massa do corpo rígido, que está relacionado com a velocidade linear e o braço do momento de cada elemento de massa.
2. Momento M \boldsymbol{M}M e momento do momentoH \boldsymbol{H}Qual é a relação de H ?
1. Sistema de coordenadas
Sistema de coordenadas estáticas S \mathcal{S}S : Assumido como um sistema de coordenadas inerciais;
O sistema de coordenadas em movimento D \mathcal{D}D : A origem coincide com o centro de massa do corpo rígido e é fixada ao corpo rígido.
Defina o sistema de coordenadas em movimento D \mathcal DD' sxxx、yyy、zzOs vetores unitários no eixo z sãoi \boldsymbol{i}i、j \boldsymbol{j}j、k \boldsymbol{k}k , para descrever esses três vetores, ele precisa ser projetado em um determinado sistema de coordenadas. Quando sua projeção está no sistema de coordenadas estáticoS \mathcal SEm S , a representação matemática éi S \boldsymbol{i}^{\mathcal S}euS、j S \boldsymbol{j}^{\mathcal S}jS、k S \boldsymbol{k}^{\mathcal S}kS. _ Quando sua projeção está no sistema de coordenadas em movimentoS \mathcal SEm S , a representação matemática éi D \boldsymbol{i}^{\mathcal D}euD、j D \boldsymbol{j}^{\mathcal D}jD、k D \boldsymbol{k}^{\mathcal D}kD. _
2. Análise
Suponha que o elemento de massa dentro do corpo rígido seja dm \text{d} md m , o raio do centro de massa do corpo rígido apontando para este elemento de massa érdm \boldsymbol{r}_{_{\text{d} m}}rdm _, então HS \boldsymbol{H}^\mathcal{S}HS可以表示为
HS = ∫ mrdm S × drdm S dtdm \boldsymbol{H}^\mathcal{S}=\int_m \boldsymbol{r}^\mathcal{S}_{_{\text{d} m}} \times\frac{\text{d} \boldsymbol{r}^\mathcal{S}_{_{\text{d} m}}}{\text{d}t} \text{d} mHS=∫mrdm _S×d td rdm _Sdm _
已知HS = hxi S + hyj S + hzk S , HD = hxi D + hyj D + hzk D = [ hx , hy , hz ] T \boldsymbol{H}^\mathcal{S}=h_x \boldsymbol{i} ^\mathcal{S}+h_y \boldsymbol{j}^\mathcal{S}+h_z \boldsymbol{k}^\mathcal{S},\quad \boldsymbol{H}^\mathcal{D}=h_x \boldsymbol {i}^\mathcal{D}+h_y \boldsymbol{j}^\mathcal{D}+h_z \boldsymbol{k}^\mathcal{D}=[h_x,h_y,h_z]^THS=hxeuS+hvocêjS+hzkS ,HD=hxeuD+hvocêjD+hzkD=[ hx,hvocê,hz]T r S = rxi S + ryj S + rzk S \boldsymbol{r}^\mathcal{S}=r_x \boldsymbol{i}^\mathcal{S}+r_y \boldsymbol{j}^\mathcal{S}+ r_z \boldsymbol{k}^\mathcal{S}rS=rxeuS+rvocêjS+rzkS MS = mxi S + myj S + mzk S \boldsymbol{M}^\mathcal{S}=m_x \boldsymbol{i}^\mathcal{S}+m_y \boldsymbol{j}^\mathcal{S}+m_z \boldsymbol{k}^\mathcal{S}MS=mxeuS+mvocêjS+mzkS ω S = ω xi S + ω yj S + ω zk S \boldsymbol{\omega}^\mathcal{S}=\omega_x \boldsymbol{i}^\mathcal{S}+\omega_y \boldsymbol{j}^ \mathcal{S}+\omega_z \boldsymbol{k}^\mathcal{S}ohS=ohxeuS+ohvocêjS+ohzkS onde,ω S \boldsymbol{\omega}^\mathcal{S}ohS representa a escala de açãoD \mathcal{D}D é relativo ao sistema de coordenadas estáticoS \mathcal{S}S está no sistema de coordenadas estáticoS \mathcal{S}Projeção em S.
可以得到MS = d HS dt = hx ˙ i S + hy ˙ j S + hz ˙ k S + hxdi S dt + hydj S dt + hzdk S dt \boldsymbol{M}^\mathcal{S}=\frac{\ text{d}\boldsymbol{H}^\mathcal{S}}{\text{d}t}=\dot{h_x} \boldsymbol{i}^\mathcal{S}+\dot{h_y} \boldsymbol{ j}^\mathcal{S}+\dot{h_z} \boldsymbol{k}^\mathcal{S}+h_x \frac{\text{d}\boldsymbol{i}^\mathcal{S}}{\text {d}t}+h_y \frac{\text{d}\boldsymbol{j}^\mathcal{S}}{\text{d}t}+h_z \frac{\text{d}\boldsymbol{k} ^\mathcal{S}}{\text{d}t}MS=d td HS=hx˙euS+hvocê˙jS+hz˙kS+hxd tde euS+hvocêd td jS+hzd td kS
Observe que os dois métodos de escrita de derivação aqui apenas distinguem entre vetores e escalares, já que ambos são projetados no sistema de coordenadas estáticas S \mathcal{S}S , então os dois são computacionalmente iguais. Se for projetado no sistema de coordenadas de movimento, não pode ser calculado diretamente.
De acordo com a fórmula de Poisson ,
di S dt = ω S × i S \frac{\text{d}\boldsymbol{i}^\mathcal{S}}{\text{d}t}=\boldsymbol{\omega }^ \mathcal{S}\times\boldsymbol{i}^\mathcal{S}d tde euS=ohS×euS dj S dt = ω S × j S \frac{\text{d}\boldsymbol{j}^\mathcal{S}}{\text{d}t}=\boldsymbol{\omega}^\mathcal{S }\times\boldsymbol{j}^\mathcal{S}d td jS=ohS×jS dk S dt = ω S × k S \frac{\text{d}\boldsymbol{k}^\mathcal{S}}{\text{d}t}=\boldsymbol{\omega}^\mathcal{S }\times\boldsymbol{k}^\mathcal{S}d td kS=ohS×kS
则有
MS = d HS dt = hx ˙ i S + hy ˙ j S + hz ˙ k S + ω S × HS \boldsymbol{M}^\mathcal{S}=\frac{\text{d}\boldsymbol {H}^\mathcal{S}}{\text{d}t}=\dot{h_x} \boldsymbol{i}^\mathcal{S}+\dot{h_y} \boldsymbol{j}^\mathcal{ S}+\dot{h_z} \boldsymbol{k}^\mathcal{S}+\boldsymbol{\omega}^\mathcal{S}\times\boldsymbol{H}^\mathcal{S}MS=d td HS=hx˙euS+hvocê˙jS+hz˙kS+ohS×HS
Em seguida, projetado para o quadro de ação D \mathcal{D}D，则有
MD = hx ˙ i D + hy ˙ j D + hz ˙ k D + ω D × HD \boldsymbol{M}^\mathcal{D}=\dot{h_x} \boldsymbol{i}^\mathcal {D}+\dot{h_y} \boldsymbol{j}^\mathcal{D}+\dot{h_z} \boldsymbol{k}^\mathcal{D}+\boldsymbol{\omega}^\mathcal{D} \times\boldsymbol{H}^\mathcal{D}MD=hx˙euD+hvocê˙jD+hz˙kD+ohD×HD即MD = H ˙ D + ω D × HD \boldsymbol{M}^\mathcal{D}={\dot{\boldsymbol{H}}^\mathcal{D}}+\boldsymbol{\omega}^\ mathcal{D}\times\boldsymbol{H}^\mathcal{D}MD=H˙D+ohD×HD Observação: Todos eles são projetados no quadro de ação.
Resumir
O acima é o momento M \boldsymbol{M} no sistema de coordenadas em movimentoM e momento do momentoH \boldsymbol{H}Para a derivação detalhada da relação entre H , o ponto mais importante é distinguir a dinâmica e a estática do sistema de coordenadas.