A complexidade do tempo e a complexidade do espaço podem nos ajudar a medir os prós e os contras de um algoritmo. Em diferentes ambientes, temos diferentes requisitos para eficiência do tempo e eficiência do espaço. Portanto, a complexidade do tempo e a complexidade do espaço podem orientar os programadores a projetar de acordo com o programa ambiente. código.

Complexidade de tempo computacional

O cálculo da complexidade de tempo não exige que calculemos o tempo exato de execução do algoritmo, pois o tempo de execução é proporcional ao número de execuções, usamos o número de execuções do algoritmo como cálculo de complexidade de tempo.

Além disso, a complexidade de tempo de alguns algoritmos tem os melhores, médios e piores casos, e tomamos o pior caso como a complexidade de tempo.

Nota: O pior caso representa o número máximo de execuções do algoritmo, geralmente com sentenças condicionais.

Explique o porquê: Caso médio = (pior caso + melhor caso)/2 = pior caso/2 + melhor caso/2

O caso médio é igual ao pior caso de acordo com a notação assintótica de Big O. (semelhante a tomar o limite)

Complexidade do espaço computacional

O cálculo da complexidade do espaço é baseado no número de variáveis de aplicação.

exercício de cálculo

1.1 Exemplos comuns de cálculo de complexidade de tempo

Exemplo 1

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
        int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

Exemplo 2

void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

Exemplo 3

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n;
    while (begin < end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

Exemplo 4

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

Exemplo 5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
            {
                if (a[i-1] > a[i])
                {
                    Swap(&a[i-1], &a[i]);
                    exchange = 1;
                }
            }
                if (exchange == 0)
                    break;
    }
}

Exemplos de respostas e análises

1. A operação básica do exemplo 1 é executada 2N+10 vezes. Derivando o método da ordem O grande, sabemos que a complexidade de tempo é O(N)

2. A operação básica do exemplo 2 é executada M+N vezes, existem duas incógnitas M e N, e a complexidade de tempo é O(N+M)
3. A operação básica do exemplo 3 é melhor executada uma vez, e a pior é O(logN) vezes , a complexidade de tempo é O(logN) ps: logN na análise do algoritmo
significa que a base é 2 e o logaritmo é N. Em alguns lugares será escrito como lgN.

4. No Exemplo 4, verifica-se através de cálculo e análise que as operações básicas se repetem N vezes, e a complexidade de tempo é O(N).

5. A operação básica do exemplo 5 é melhor executada N vezes, e a pior é executada (N*(N+1)/2 vezes. Derivando o método de ordem O grande + complexidade de tempo é
geralmente considerado o pior, e o complexidade de tempo é O(N ^2)

1.2 Cálculo da complexidade do espaço comum
Exemplo 1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

Exemplo 2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
    return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
        fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray ;
}

Exemplo 3

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

Exemplos de respostas e análises:
1. O Exemplo 1 usa uma quantidade constante de espaço extra, então a complexidade do espaço é O(1)
2. O Exemplo 2 abre dinamicamente N espaços, e a complexidade do espaço é O(N)
3. Exemplo 3 recursivamente chamadas N vezes, N quadros de pilha são abertos e cada quadro de pilha usa uma quantidade constante de espaço. A complexidade do espaço é O(N)

Cálculo de complexidade de tempo e espaço

Objetivos deste capítulo

Compreender a complexidade do tempo e do espaço

Complexidade de tempo computacional

O caso médio é igual ao pior caso de acordo com a notação assintótica de Big O. (semelhante a tomar o limite)

Complexidade do espaço computacional

exercício de cálculo

1.1 Exemplos comuns de cálculo de complexidade de tempo

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

1.2 Cálculo da complexidade do espaço comum
Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

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