Compreendendo o algoritmo de Dijkstra

    O algoritmo de Dijkstra nos permite encontrar o caminho mais curto entre quaisquer dois vértices do gráfico.
    É diferente da árvore de abrangência mínima porque a distância mais curta entre dois vértices pode não incluir todos os vértices do gráfico.

Como funciona o algoritmo de Dijkstra

    O princípio de funcionamento do algoritmo de Dijkstra é que um certo subcaminho B -> D do caminho mais curto A -> D entre os vértices A e D é também o caminho mais curto entre os vértices B e D.

    Djikstra usa essa propriedade ao contrário, ou seja, superestimamos a distância de cada vértice ao vértice inicial. Em seguida, visitamos cada nó e seus vizinhos e encontramos o caminho secundário mais curto para esses vizinhos.
    O algoritmo utiliza um método guloso, ou seja, buscamos a melhor solução, esperando que o resultado final seja a melhor solução para todo o problema.

Exemplo de algoritmo de Dijkstra

    É mais fácil começar com um exemplo e depois considerar o algoritmo.

    Comece com um gráfico ponderado.

    Escolha um vértice inicial e atribua o valor do caminho infinito a todos os outros nós.

    Atualize o comprimento do caminho de cada vértice.

    Se o comprimento do caminho do vértice adjacente for menor que o comprimento do novo caminho, ele não será atualizado.

    Evite atualizar o comprimento do caminho dos vértices visitados.

    Após cada iteração, selecionamos o vértice não visitado com o menor comprimento de caminho. Portanto, escolhemos 5 antes de 7.

    Observe como o comprimento do caminho do vértice mais à direita é atualizado duas vezes.

    Repita até que todos os vértices tenham sido visitados.

Pseudocódigo do algoritmo Djikstra

    Precisamos manter a distância do caminho de cada vértice. Podemos armazená-lo em um array de tamanho v, onde v é o número de vértices.
    Também esperamos obter o caminho mais curto, não apenas saber a extensão do caminho mais curto. Para fazer isso, mapeamos cada vértice para o vértice cujo comprimento do caminho foi atualizado pela última vez.
    Depois que o algoritmo terminar, podemos retroceder do vértice de destino ao vértice de origem para encontrar o caminho.
    A menor fila de prioridade pode receber efetivamente o vértice com a menor distância de caminho.

function dijkstra(G, S)
    for each vertex V in G
        distance[V] <- infinite
        previous[V] <- NULL
        If V != S, add V to Priority Queue Q
    distance[S] <- 0
	
    while Q IS NOT EMPTY
        U <- Extract MIN from Q
        for each unvisited neighbour V of U
            tempDistance <- distance[U] + edge_weight(U, V)
            if tempDistance < distance[V]
                distance[V] <- tempDistance
                previous[V] <- U
    return distance[], previous[]

Código do algoritmo Dijkstra

// Dijkstra's Algorithm in C

#include <stdio.h>
#define INFINITY 9999
#define MAX 10

void Dijkstra(int Graph[MAX][MAX], int n, int start);

void Dijkstra(int Graph[MAX][MAX], int n, int start) {
    
    
  int cost[MAX][MAX], distance[MAX], pred[MAX];
  int visited[MAX], count, mindistance, nextnode, i, j;

  // Creating cost matrix
  for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
      if (Graph[i][j] == 0)
        cost[i][j] = INFINITY;
      else
        cost[i][j] = Graph[i][j];

  for (i = 0; i < n; i++) {
    
    
    distance[i] = cost[start][i];
    pred[i] = start;
    visited[i] = 0;
  }

  distance[start] = 0;
  visited[start] = 1;
  count = 1;

  while (count < n - 1) {
    
    
    mindistance = INFINITY;

    for (i = 0; i < n; i++)
      if (distance[i] < mindistance && !visited[i]) {
    
    
        mindistance = distance[i];
        nextnode = i;
      }

    visited[nextnode] = 1;
    for (i = 0; i < n; i++)
      if (!visited[i])
        if (mindistance + cost[nextnode][i] < distance[i]) {
    
    
          distance[i] = mindistance + cost[nextnode][i];
          pred[i] = nextnode;
        }
    count++;
  }

  // Printing the distance
  for (i = 0; i < n; i++)
    if (i != start) {
    
    
      printf("\nDistance from source to %d: %d", i, distance[i]);
    }
}
int main() {
    
    
  int Graph[MAX][MAX], i, j, n, u;
  n = 7;

  Graph[0][0] = 0;
  Graph[0][1] = 0;
  Graph[0][2] = 1;
  Graph[0][3] = 2;
  Graph[0][4] = 0;
  Graph[0][5] = 0;
  Graph[0][6] = 0;

  Graph[1][0] = 0;
  Graph[1][1] = 0;
  Graph[1][2] = 2;
  Graph[1][3] = 0;
  Graph[1][4] = 0;
  Graph[1][5] = 3;
  Graph[1][6] = 0;

  Graph[2][0] = 1;
  Graph[2][1] = 2;
  Graph[2][2] = 0;
  Graph[2][3] = 1;
  Graph[2][4] = 3;
  Graph[2][5] = 0;
  Graph[2][6] = 0;

  Graph[3][0] = 2;
  Graph[3][1] = 0;
  Graph[3][2] = 1;
  Graph[3][3] = 0;
  Graph[3][4] = 0;
  Graph[3][5] = 0;
  Graph[3][6] = 1;

  Graph[4][0] = 0;
  Graph[4][1] = 0;
  Graph[4][2] = 3;
  Graph[4][3] = 0;
  Graph[4][4] = 0;
  Graph[4][5] = 2;
  Graph[4][6] = 0;

  Graph[5][0] = 0;
  Graph[5][1] = 3;
  Graph[5][2] = 0;
  Graph[5][3] = 0;
  Graph[5][4] = 2;
  Graph[5][5] = 0;
  Graph[5][6] = 1;

  Graph[6][0] = 0;
  Graph[6][1] = 0;
  Graph[6][2] = 0;
  Graph[6][3] = 1;
  Graph[6][4] = 0;
  Graph[6][5] = 1;
  Graph[6][6] = 0;

  u = 0;
  Dijkstra(Graph, n, u);

  return 0;
}

A complexidade do algoritmo de Dijkstra

    Complexidade de tempo: O (E Log V)
    onde E é o número de arestas e V é o número de vértices.
    Complexidade do espaço: O (V)

Aplicação do algoritmo de Dijkstra

• Encontre o caminho mais curto
• Aplicação nas redes sociais
• Na rede telefônica
• Encontre a localização no mapa

Documentos de referência

[1] Parewa Labs Unip. Algoritmo de Ltd.Dijkstra [EB / OL] .https: //www.programiz.com/dsa/dijkstra-algorithm,2020-01-01.