Programaçao dinamica
Problema de mochila
Há uma mochila com capacidade para 4 libras, e os seguintes itens estão disponíveis
artigo | peso | preço |
---|---|---|
Guitar G | 1 | 1500 |
Sons | 4 | 3000 |
Computador L | 3 | 2000 |
Necessário para atingir o valor alvo do total da carga máxima da mochila, e o peso não ultrapassar a carga
exigida do artigo não pode ser repetido
Introdução à programação dinâmica
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A ideia central do algoritmo de programação dinâmica é dividir o grande problema em pequenos problemas a serem resolvidos, de forma a obter a solução ótima passo a passo .
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O algoritmo de programação dinâmica é semelhante ao algoritmo de dividir para conquistar . Sua ideia básica é decompor o problema a ser resolvido em vários subproblemas, primeiro resolvendo os subproblemas e, em seguida, obtendo o problema original a partir das soluções destes sub-problemas.
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Ao contrário do método dividir e conquistar , que é adequado para problemas resolvidos por programação dinâmica, os subproblemas obtidos por decomposição geralmente não são independentes uns dos outros . ( Ou seja, a solução do próximo subestágio é baseada na solução do subestágio anterior , e outras soluções são realizadas)
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O planejamento dinâmico pode ser avançado gradualmente preenchendo o formulário para obter a solução ideal.
Análise de pensamento
O problema da mochila refere-se principalmente a uma mochila com uma determinada capacidade, uma série de itens com um determinado valor e peso, como escolher itens para colocar na mochila para maximizar o valor dos itens. Dentre eles, está dividido em 01 mochila e mochila completa (a mochila completa refere-se a : cada item possui peças ilimitadas disponíveis)
A ideia principal do algoritmo é resolvida por programação dinâmica. Para o i-ésimo item que é percorrido a cada vez, determine se o item precisa ser colocado na mochila de acordo com w [j e v [j . Ou seja, para dados n itens, sejam v [i] ew [i] o valor e o peso do i-ésimo item, respectivamente, e C a capacidade da mochila. Seja v [i] [j o valor máximo que pode ser carregado na mochila de capacidade j nos primeiros i itens. Então nós temos o seguinte resultado:
v[i][0]=v[0][j]=0;//表示填入表的第一行和第一列是0
当w[i]> j时: v[i][j]=v[i-1][j]//当我们加入的新的商品容量大于当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略
当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
//当准备加入的新的商品下雨等于当前背包的容量时,
//v[i-1][j]就是上一个单元格的装入最大的值
//v[i]当前商品的价值
//v[i-1][j-w[i]]装入i-1个商品到剩余空间j-w[i]的最大值
Processo de mochila
artigo | 0 libras | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Guitar G | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 1500G |
Sons | 0 | 1500G | 1500G | 1500G | 3000S |
Computador L | 0 | 1500G | 1500G | 2000L | 3500G + L |
1. Se houver apenas uma guitarra , não importa o tamanho da mochila, você só pode colocar uma guitarra
2. Se houver guitarras e aparelhos de som , apenas guitarras podem ser colocadas na frente. Os aparelhos de som só podem ser colocados quando a capacidade da mochila é de 4 libras
. . . . . . . o resto é o mesmo
Verifique nossa fórmula acima
v[1] [1] = 1500;
1.i=1,j=1
2.w[i] = w[1] =1
w[1]=1 j=1 当j>=w[i]时: v[i][j]=max(v[i-1][j]),v[i-1][j-w[i]]+v[i]}
v[1][1] = max {
v[0][1],v[1]+v[0][1-1]} = max{
0,1500+0} = 1500
v[3][4]
i = 3,j = 4
w[i] = w[3] = 3 j=4
v[3][4] = max {
v[2][4],v[3]+v[2][1]} = max{
3000,2000+1500} = max{
3000,3500}=3500
Código
package 算法;
//动态规划 ---- 背包问题
public class dynamic {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] w = {
1,4,3};//物品重量
int[] val = {
1500,3000,2000};//对应的物品价格
int m = 4;//背包容量
int n = val.length;//物品个数
//为了记录放入商品的情况
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//创建二维数组
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//初始化表格第一行和第一列
for(int i=0;i < v.length;i++){
v[i][0] = 0;//将第一列 置为0
}
for(int i=0;i < v[0].length;i++){
v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
}
//根据前面得到的公式来动态规划处理
for (int i = 1; i < v.length; i++) {
//不处理第一行
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
//不处理第一列
//公式
if(w[i-1]>j){
//因为我们的i是从1开始的,因此原来的w[i]修改成w[i-1]
v[i][j] = v[i-1][j];
}else{
//因为我们的i是从1开始的,因此val[i]应该改成val[i-1]
//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要if-else来提现
if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
v[i][j] = val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
}else{
v[i][j] = v[i-1][j];
}
}
}
}
//输出下我们的表格 看看情况
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
System.out.print(v[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
//输出最后我们放入的那些商品
//遍历path 这样会把所有情况得到,我们只需要最后的情况
// for (int i = 0; i < path.length; i++) {
// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
// if(path[i][j]==1){
// System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
// }
// }
// }
int i = path.length-1; //行的最大下表
int j = path[0].length-1; //列的最大下表
while(i>0 && j>0){
//从后向前遍历
if(path[i][j] == 1){
System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
j-=w[i-1];
}
i--;
}
}
}
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
第3个商品放入背包
第1个商品放入背包