SGU-106 A equação (Europa expandida + processamento detalhado)

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Tema

给出$ax+by+c=0\; é$ uma equação binária indefinida de um grau, e é satisfeito que$\left\{\right(x,y)|x\in [lx,rx],Y\in [ly,ry]\}$ O número de soluções.

Ideias para resolução de problemas

Achei que tinha escrito muitas perguntas sobre a expansão da Europa e sabia bem disso, mas essa pergunta me atingiu de novo, $wum$ a duvidar de vida ...

Em primeiro lugar, não é difícil pensar se $c$ movido para o lado direito da equação ainda é negativo, entãoccdeve ser$c$ muda de sinal, ao mesmo tempo$a,b$ também deve mudar de sinal, mas neste momento$a,$O sinal de$b$ pode ser negativo. No início, minha ideia era fazer referência às variáveis ​​independentes$x,y$ , isto é,$|a|(-x)+|b|(-y)=c$ , e então tire o negativo diretamente após encontrar a solução especial. Não é possível fazer isso? Sim, mas não nesta pergunta. Os motivos são os seguintes:

Porque o que exigimos é o número de soluções em um determinado espaço de solução, suponha que não consideremos $a,$O símbolo de$b$ então a equação acima é convertida em$x=\frac{c-by}{uma}$， Este $uma$ mudança de pós-sinal afeta diretamente a forma final da solução geral é alterada, então se quisermos$uma$ negação, o caminho correto é dado pelo inverso do espaço da solução, ou seja, torna-se$[-rx,-Lx]$ para$y\; é\; o$ mesmo.

Depois de resolvermos a solução geral, precisamos obter o número de soluções, porque $x,$A transformação de$y$ é o oposto. Parece difícil começar, mas na verdade só precisamos resolver essa desigualdade$lx\le x_0+k_1\frac{b}{gcd(a,b)}\le rx$ encontrar$x$ no espaço de solução$k_1$O intervalo de valores e, em seguida, $y$ 's$k_2$Para o intervalo de valores de, pegue apenas uma interseção dos dois. Neste momento, você precisa prestar atenção novamente. O lado esquerdo deve ser arredondado para cima e o lado direito deve ser arredondado para baixo. Faça um desenho para entender.

Há um julgamento especial $uma=0,b=$Três casos de$0$

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// Created by Happig on 2020/10/30
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "\n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
    if (!b) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

ll gcd(ll a, ll b) {
    
    
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main() {
    
    
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll a, b, c, lx, rx, ly, ry;
    cin >> a >> b >> c >> lx >> rx >> ly >> ry;
    c = -c;
    if (c < 0) c = -c, a = -a, b = -b;
    if (a < 0) a = -a, swap(lx, rx), lx = -lx, rx = -rx;
    if (b < 0) b = -b, swap(ly, ry), ly = -ly, ry = -ry;
    if (a == 0 && b == 0) {
    
    
        if (c == 0) cout << (rx - lx + 1) * (ry - ly + 1) << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (a == 0) {
    
    
        if (c % b == 0 && ly <= c / b && c / b <= ry) cout << rx - lx + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (b == 0) {
    
    
        if (c % a == 0 && lx <= c / a && c / a <= rx) cout << ry - ly + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll d = gcd(a, b);
    if (c % d) {
    
    
        cout << "0" << endl;
    } else {
    
    
        ll x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        x = x * c / d, y = y * c / d;
        //cout << x << " " << y << endl;
        a /= d, b /= d;
        int l = max(ceil(1.0 * (lx - x) / b), ceil(1.0 * (y - ry) / a)), r = min(floor(1.0 * (rx - x) / b),
                                                                                 floor(1.0 * (y - ly) / a));
        if (r >= l) cout << r - l + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
    }
    return 0;
}