[Teoria dos grafos] Resumo dos pontos de conhecimento

Este artigo é um resumo dos pontos de conhecimento da teoria dos grafos.

Definição e terminologia do gráfico

[ Definição e termos da figura ]

Estrutura de armazenamento

As estruturas de armazenamento de grafos comumente usadas são a matriz de conexão e a tabela de adjacência. Para obter detalhes, consulte 【Chain Forward Star】.

Um grafo com relativamente poucas arestas é chamado de grafo esparso e geralmente é usada uma lista de adjacências . A matriz de adjacência de um grafo esparso é uma matriz esparsa e existem técnicas especiais para processá-la.

Aqueles com mais arestas são chamados de gráficos densos . A matriz de adjacência geralmente é usada.

Outro método é a matriz de incidência . As linhas da matriz representam vértices e as colunas representam arestas. Se a aresta estiver associada a um ponto, o elemento é 1.

Travessia do gráfico

[ Imagem transversal ]

Isomorfismo de gráfico

Quando dois gráficos simples são isomórficos, os vértices dos dois gráficos têm uma correspondência um-para-um (correspondência de aresta) que mantém a relação adjacente. Ou seja, a estrutura do gráfico é a mesma quando o identificador do vértice é ignorado.

É difícil julgar o isomorfismo do gráfico, mas é mais fácil julgar a estrutura diferente do gráfico. As propriedades mantidas no isomorfismo de grafos são chamadas de invariantes de grafos , e invariantes de grafos podem ser usados ​​para julgar as diferentes estruturas de grafos. O mesmo grau de vértices correspondentes é um invariante de gráfico comumente usado.

Você pode definir a função de mapeamento do grafo ao vértice do grafo e escrever a matriz de adjacência dos dois grafos.Se as matrizes forem iguais, significa que as arestas são preservadas e os dois grafos são isomórficos. Mas se as matrizes de adjacência não forem iguais, isso não pode explicar a estrutura diferente do grafo, porque outros métodos de mapeamento podem tornar as matrizes de adjacência iguais.

Conectividade

[ Conectividade do gráfico ].

Caminho de Euler e Caminho de Hamilton

[ Caminho de Euler e Caminho de Hamilton ]

Gráfico acíclico dirigido e sua aplicação

[ Gráfico acíclico direcionado e sua aplicação ]

Caminho mais curto

[ Algoritmo de caminho mais curto ]

Planta

Se um gráfico pode ser desenhado em um plano sem qualquer interseção de arestas, então o gráfico é um gráfico plano.

Fórmula de Euler

Vamos $r$ é o número de faces representadas pelo plano do gráfico, então$r=e-v+2$。

inferência

1. Para gráficos planos conectados, se $v\ge 3$则 则$e\le 3v-6$ .

2. Não há vértice com grau maior que 5 no gráfico simples do plano conectado.

As duas inferências acima podem ser usadas para provar que o gráfico é um gráfico não plano .

Se o gráfico plano simples não tem loop de comprimento 3, então $e\le 2v-4$。

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