\ [F (n) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ binom {n} {i} g (i) \ Leftrightarrow g (n) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} \ binom {n} {i} f (i) \]
O seguinte é a minha prova é uma prova direta.
Pré-prova: \ (\ R & lt Binom {m}} {\ Binom K {m}} = {\ I & lt Binom {} {} K \ Binom RK} {MK} {\) , este simples plano na linha.
\ [\ Begin {align} f (n) & = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ binom {n} {} i g (i) \\ & = \ sum_ {i = 0} ^ {n } \ binom {n} {i} \ sum_ {j = 0} ^ {i} (-1) ^ {ij} \ binom {i} {j} f (j) \\ & = \ sum_ {j = 0 } ^ {n} f (j) \ sum_ {i = j} ^ {n} (-1) ^ {ij} \ binom {n} {i} \ binom {i} {j} \\ \ final {align } \]
Neste ponto, quando o \ (j = n \) quando, \ (\ sum_ I = J {}} ^ {n - (- 1) ij de ^ {} \ {n-Binom {I}} \ {I} {J Binom =} (-1) 0 ^ \ N-Binom {} {} n- \ n-Binom {} {} = n-. 1 \) . Este é o esquerdo da fórmula \ (f (n) \) cancelamento, isto é, o valor residual de zero. Então nós consideramos \ (j <n \) situação. equação de observação, devemos exigir que cada \ (f (j) \) coeficientes são 0 para o trabalho. Este certificado \ (\ FORALL J <n-, \ sum_ i = j {}} ^ {n - (- 1) ij de ^ {} \ {n-Binom} {J} \ NJ Binom {} {} ij de = 0 \) .
\ [\ Begin {align} \ sum_ {i = j} ^ {n} (-1) ^ {ij} \ binom {n} {} j \ binom {NJ} {ij} = 0 & = \ {n binom } {} j \ sum_ {i = j} ^ {n} (-1) ^ {ij} \ binom {NJ} {ij} \\ & = \ binom {n} {} j \ sum_ {i = 0} ^ {NJ} (-1) ^ i \ binom {NJ} {i} \\ & = \ binom {n} {j} (-1 + 1) ^ {NJ} \\ & = 0 \ final {align} \]
Devido a essa equação, para que ele seja adequadamente esquerda para a direita, direita para a esquerda, direita. QED.
Outra inversão binomial manifestação
\ [F (n) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ i \ binom {n} {} i g (i) \ Leftrightarrow g (n) = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ i \ binom {n} {i} f (i) \]
Ou prova de empatia.
\ [\ Begin {align} f (n) & = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ i \ binom {n} {} i g (i) \\ & = \ sum_ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ i \ binom {n} {i} \ sum_ {j = 0} ^ {i} (-1) ^ j \ binom {i} {j} f (j) \\ & = \ sum_ {j = 0} ^ {n} f (j) \ sum_ {i = j} ^ {n} (-1) ^ {i + j} \ binom {n} {i} \ binom {i} {j} \\ \ final {align} \]
A parte superior e uma fórmula idêntica. Coeficiente é uma -1 ij é um i + j, o mesmo.
Ou, uma vez que primeiro provar um formulário, então podemos colocá-los na segunda equação \ (g (i) \) como o primeiro \ ((- 1) ^ ig (i) \) , em seguida, dirigir um caso perdido.