선행 검토 :
마드 변환 패리티 문제점 : (a) 양자 간단한 알고리즘
자, 이제 진짜 이야기, 시몬의 알고리즘
문제 :
비밀 문자열을 n 비트의 스트링 0 \ (S \ \ {0,1에서 \} ^ n \)
이제 블랙 박스, F 그 약 (x)를 우리는 알고있다 (F (X 축) = F (X 축 \의 oplus의 S) \) \ 의 X-입력이 n은 0, 문자열 비트 \는 (X \ \ {0,1 \} ^ N에 \)
나는 우리가 비밀 문자열을 찾을 수있는 방법을 여러 번 물어?
클래식 솔루션 :
우리가 찾아 낼 수있는 경우에 \ (X의 \)를 하고 \ (X 축 \의 oplus는 S \) , 그것은 매우 간단합니다, 당신은 한,의를 얻을 수 있습니다 (X 축 \의 oplus S \ oplus X 축 \) \ .
두 입력이있는 경우에 따라서 동일한 출력을 찾는 방법은?
사실, 이것은 우리가 두 개의 생일 23 명 두 사람이 50 % 이상 동일한 생일 확률이라는 인상, 동일 얼마나 많은 사람들이 변형의 문제, 사람들의 그룹, 매우 잘 알고있는 또 다른 문제입니다 다음 60명 같은 생일 확률의 이명 99 % 이상이있는 경우.
문제 및 솔루션 생일 문제는 나중에 상관없이, 얼마나 피곤 동일하지 않으며, 당신은 우리가 일반적인 대답은 줄 생일 문제에 대한 검색, 알고 싶은 \을 (2 ^ {N / 2 } \) C 시간.
퀀텀 솔루션 :
세 단계의 총 퀀텀 솔루션 :
- 임의 중첩 $의 \의 FRAC을 설정 {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 rangle + \ FRAC {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 oplus의 \ rangle $
- 푸리에 샘플 임의의 Y를 얻을 : \ (Y · S = 0 (\ 모드 2) \)
- 반복 단계 N-1 번 N-1 선형 방정식을 생성한다.
다음으로, 우리는 각 단계에서 무엇을 단계적으로보고, 그것을 수행하는 방법 :
첫 번째 단계는 중첩 $ \의 FRAC {1} {\ 생산 연구 \의 rangle + \ FRAC는 {1} {\ SQRT2} | | 연구 \의 oplus S \ rangle $, SQRT2} .이도에 의해 달성 될 수 A.을
우선 제 \는 (H는 ^ {\ n otimes \}) 문, 우리 N- 비트 \ (| 0 \ rangle \)를 성공적으로 중첩 상태 $의 \의 FRAC {1} {2해진다 ^ {\ FRAC {N} {2}}} \ sum_x | X \ rangle $
그리고 \ (|는 \ rangle \ b) 함께 통해 \ (U_f \) , 결과는 $ \ FRAC {1} {2, N ^ {\ FRAC {} {2}}} \ sum_x | X \ rangle | B \ oplus의 F (x)를 \ rangle $
측정 | (\ rangle \ ㄱ \의 oplus의 F (X 축))는 \를 , 측정 결과의 결과 (| X \ rangle \) \ 또 다른 \ (| X \ rangle \하면) 이 블랙 박스에 기초하여, 축소 할 특성 만 $ | R \ rangle $와 \는 (| 연구 \의 oplus들 \ rangle \)은 그들이 f를하기 때문에, 유지한다 (X)와 동일한, R은 임의의 서열이다, 측정 결과는에 대응 상기 식에서 연구이다.
이 시점에서 우리가 중첩 상태 $의 \의 FRAC를 얻으려면 {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 rangle + \ FRAC {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 oplus의 \ rangle $
두 번째 단계는 , 푸리에 샘플링
우리는 $ \ FRAC의 중첩을 얻기 {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 rangle + \ FRAC {1} {\ SQRT2} | 연구 \의 oplus의 \의 rangle $ 푸리에 샘플링
다시으로 \ (H는 ^ {\ n otimes \}) 우리는 무엇을 얻을 수 있나요?
우리에 따라 (a) 단일 양자 알고리즘 결론적 알고 \ (H는 ^ {\ n을 otimes FRAC {-1 ^ {유 · X}} {2 ^ {\ FRAC \ U \ rangle = \ sum_x |}을 N-2} {} {}} | X \ rangle \) .
그때
& = \ FRAC \ [\ 시작 H는 ^ (| | 연구 \의 rangle + \ FRAC {1} {\ SQRT2} 연구 \의 oplus S \의 rangle \ FRAC {1} {\ SQRT2을}) {\ n을 otimes} {정렬} {1} {\ SQRT2} \ sum_x \ {-1 FRAC ^ {R · X}} {2 ^ {N / 2}} | X \ rangle + \ FRAC {1} {\ SQRT2} \ sum_x \ FRAC {-1 ^ {(R \의 oplus의 S) · X}} {2 ^ {N / 2}} | X \ rangle \\ & = \ sum_x (\ FRAC {-1 ^ {R · X}} {2 ^ {(N +1) / 2} +} \ {-1 FRAC ^ {(R \의 oplus의 S) · X} {2} ^ {(N + 1) / 2}}) | X \ rangle \\ & = \ sum_x \ FRAC {1 ^ {R · X} + (- 1) ^ {(R \의 oplus의 S) · X}} {2 ^ {(N + 1) / 2}} | X \ rangle \ 단부 {정렬} \]
이 시점에서, 우리는 질문에 초점을 맞추고있다 \ (1 ^ {R · X } + (- 1) ^ {(R \의 oplus s의) · X} \) 에.
\ - ((1) ^ { \ · X (R \의 oplus의 S)}) 과 같이 쓸 수있다 \ ((-. 1) ^ {S · X} * (-. 1) ^ {R & LT · X} \) (왜 수에 관해서 , 당신은 가능한 네도 총을 모든 비트 연산을 시도 할 수 있습니다
그런 다음 각각의 가능한 방정식의 확률은 다음과 같이 쓸 수있다 \ (\ FRAC {((- 1) ^ {S · X} +1) * (- 1) ^ {R · X}} {2 ^ {(N + 1 / 2)}} \)
만약 \ (S · X = 0 \ ) 다음 확률이 정확히 \ (\ {FRAC (- 1 ) ^ {R · Z} {2} ^ {(N-1) / 2}} \)
만약 \ (S · X = -1 \ ) 그래서,이 확률은 정확히 0
그래서 이것은 무엇을 설명 하는가?
이것은 우리가 측정 할 경우 있음을 보여줍니다 (| X \ rangle \) \을 , 우리는 X 받아야합니다 \ (S · X = 0 \ ) 및 0으로 상쇄 할 수가 없기 때문에.
그래서 X를 얻을, 그것은 무엇을 의미합니까?
\ (S · X = 0 \ ) 우리가 가진 사실 수식 $의 s_1x_1 + s_2x_2 + ... + s_nx_n = 0 모드 2 $ \
세 번째 단계 :
우리는 먼저 측정 한 경우에서 x \ (X ^ 1 \) , 우리 얻을 방정식 $의 s_1x_1 ^ 1 + s_2x_2 ^ 1 + ... + 1 = s_nx_n ^ 0 \ 개조 2 $
두번째 측정 $ s_1x_1 ^ 1 + s_2x_2 ^ 1 + ... + 1 = s_nx_n ^ 0 \ 개조 2 $ 방정식
그래서, 시간 N-1, N-1을 측정하는 방정식 세트의 방정식을 얻었다.
$ s_1x_1 ^ 1 + s_2x_2 ^ 1 + ... + 1 = s_nx_n ^ 0 \ 개조 2 $
$ s_1x_1 ^ 1 + s_2x_2 ^ 1 + ... + 1 = s_nx_n ^ 0 \ 개조 2 $
......
$ s_1x_1 ^ {N-1} + s_2x_2 ^ {N-1} + ...... + s_nx_n ^ {N-1} = 0 \ 개조 2 $
N-1 식, N 개의 미지수 ( \ (S_1이 S_2가 ...... S_N \가) ), 일반적으로 용액의 두 가지가있을 것, 사소한 용액 집합이 우릴없고, 모두 제로이지만 솔루션의 또 다른 세트는 우리의 응답이다 \ (S \) .
성공의 확률 :
방정식의 상기 한 용액이 직선이 아닌 경우는 선형 방정식의 시스템은 N-1 회 답을 얻는 것이 불가능하다 그 측정 값이라고 전제가있다.
그 후 I로 이루어진 수식 X는 선형 방정식의 확률이 얼마 측정?
우리는 테이블 컬럼 볼 수 있습니다 :
| 실패 | 실패의 확률 | 성공의 확률 | |
|---|---|---|---|
| \ (X ^ 1 \) | 0 | \ (\ FRAC {1} {2 ^ {N-1}} \) | \ (FRAC \ 1- {1} {2 ^ {N-1}} \) |
| \ (X ^ 2 \) | 0 \ (X ^ 1 \) | \ (\ FRAC {2} {2 ^ {N-1}} \) | \ (FRAC \ 1- {1} {2 ^ {N-2}} \) |
| \ (X ^ 3 \) | 0 \ (X ^ 1 \) , \ (X ^ 2 \) , \ (X ^ 1 + X ^ 2 \) | \ (\ FRAC {4} {2 ^ {N-1}} \) | \ (FRAC \ 1- {1} {2 ^ {N-1}} \) |
| ...... | ...... | ............ | \ (FRAC \ 1- {1} {2 ^ {N-1}} \) |
| \ (X ^ {N-1} \) | 0 \ (X ^ 1 \) ... \ (X ^ 1 + X ^ 2 \) ... \ (X ^ 1 + X ^ 2 + ... + X ^ N-2 \) | \ (\ FRAC {2 ^ {N-2} {2} ^ {N-1}} \) | \ (1- FRAC \ {1} {2} \) |
모든 측정은 다음과 같은 세 가지 조건으로 구분 실패 :
- 모두 0 측정
- 측정 결과는 상기와 동일
- 측정 결과는 상기 측정 결과의 선형 조합 인
그래서 성공의 전반적인 확률을 계산하기 위해, 성공 확률의 독립 간주됩니다 여기에 성공의 확률의 제품이기 때문에 자신의
\ (\ FRAC {1} {2} * \ FRAC {3} {4} * \ FRAC {7} {8} * .. * \ FRAC {2 ^ {N-1} -1- {2} ^ {N -1}}\)
이 제한은 문제의 공식 Q 시리즈를 찾고 있으며, 관심 친구가 해결하는 방법을 찾아 갈 수보다도 0.28878 거의 동일 여기에 직접 확률을 부여
참고 :
우리는 잘 될 것이 다 같이 생각되지 않습니까?
아니,주의해야 할 장소 내 친구의 많은 사람들이 알고 있었다, 거기에, 그것을 붕괴 양자 상태를 측정 완료되지 않습니다? 왜 N-1 시간을 측정 할 수 있습니까?
사실, 이것은 당신이 N-1 가질 수 있도록, N-1 번을 할 수있는 첫 번째 부분입니다 (| X \ rangle \) \ 선형 측정 조건 X를 찾을 수를 충족합니다.
참고 :