역행렬은 선형대수학에서 매우 중요한 개념으로 다음과 같은 기본 성질을 갖는다:
1. 역행렬은 정사각행렬이어야 한다: 행렬이 역행렬이 되려면 정사각행렬이어야 한다. 즉, 행과 열의 개수가 동일합니다.
2. 역행렬의 고유성: 행렬 \( A \)가 역행렬인 경우 해당 역행렬 \( A^{-1} \)은 고유합니다. 이는 동일한 숫자 필드에 단위 행렬 \( I \)가 되는 \( A \)를 곱한 두 개의 서로 다른 역행렬이 없음을 의미합니다.
3. 역행렬의 역행렬은 여전히 원래 행렬입니다. 모든 역행렬 \( A \)의 경우 역행렬 \( A^{-1} \)의 역행렬은 여전히 \( A \)입니다. 즉, \( (A ^{-1})^{-1} = A \)입니다.
4. 가역 행렬은 전치 후에도 여전히 가역적입니다. 행렬 \( A \)가 가역이면 전치된 행렬 \( A^T \)도 가역이고 \( (A^T)^{- 1} = (A^{-1})^T \).
5. 소거법칙: 행렬 \( A \)가 가역적이면 모든 행렬 \( B \) 및 \( C \)에 대해 \( AB = C \)이면 \( B = C \cdot A ^ {-1} \). 마찬가지로 \( BA = C \)이면 \( A = C \cdot B^{-1} \)입니다.
6. 두 개의 가역 행렬의 곱은 여전히 가역적입니다. 행렬 \( A \)와 \( B \)가 모두 가역이면 해당 곱 \( AB \)도 가역입니다.
7. 가역행렬의 행렬식이 0이 아니다: 행렬이 가역적이 되기 위한 필요충분조건은 행렬식이 0이 아니라는 것이다. 행렬식 \( A \) \( \det(A) \neq 0 \)이면 \( A \)는 가역적입니다.
8. 역행렬의 순위는 차수와 같습니다. 역행렬의 순위는 행(또는 열)의 수와 동일합니다. 이는 모든 행(또는 열)이 선형 독립임을 의미합니다.
이러한 속성은 선형 방정식과 같은 문제를 해결하고, 행렬의 역행렬을 계산하고, 행렬 분해를 수행하는 데 매우 중요한 응용 프로그램을 갖습니다. 이는 선형 대수학에서 없어서는 안될 도구이며 행렬 이론과 그 응용을 이해하는 데 중요합니다.
