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@説明@
求：
\ [\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {n}はGCD ^ K（i、j）は\回LCM（I、J）\回[GCD（I、J ）\ \のmod 10 ^ 9 + 7]プライムで\]
@解決@
\ [\ {整列}開始ANS＆= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {n}はGCD ^ K（i、j）は\回LCM（I、J）\回[GCD（I、J）\素数で】\\＆= \ sum_ {D = 1} ^ {N} [プライムにおけるD \] \回{K + 1} \ sum_ {I = 1} ^ {^ D \ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} \ sum_ {J = 1} ^ {\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor} [GCD（I、J）= 1] \回I \回J \端{整列} \]
その背景には、古典的な問題です。明らかメビウス反転することができるが、しかし、私は、J同じ範囲はオイラー関数を使用することができることに留意。
結論ベース\（GCD（I、N）= GCD（N - ）\ I、N） 、及び素数nは常にペアで存在するが、そうある：
\ [\ sum_ {I} = ^ {n}は1。 \ sum_ {J = 1} ^ {N} [GCD（I、J）= 1] \回I \回J = \ sum_ ^ {n}は{I 1 =} \ PHI（I）\ iは^ 2回\ ]
注\（S（N）= \ sum_ {私は= 1} ^ {N-} \ファイ（I）\タイムズI ^ 2 \） 、デュの教示ふるい要求することができる\（S \）は（MIN-25することができない篩）しないでください。その後：
\ [ANS = \ sum_ {D = 1} ^ {n}は素数で[D \] \回{K + 1} \回S（\ lfloor \ FRAC {n}は{D} \ rfloor）^ D \]
場合（S（\ lfloor \ FRAC \ {n}は{D} \ rfloor）\） ブロック、我々は素数K + 1とプレフィックスの力を要求します。ミン-25は、実際に画面の最初の半分です。
@acceptedコード@
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = int(1E9) + 7;
const int MAXN = 4650000;
inline int add(int x, int y) {return (x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y);}
inline int sub(int x, int y) {return (x - y < 0 ? x - y + MOD : x - y);}
inline int mul(int x, int y) {return 1LL * x * y % MOD;}
int pow_mod(int b, int p) {
int ret = 1;
for(int i=p;i;i>>=1,b=mul(b,b))
if( i & 1 ) ret = mul(ret, b);
return ret;
}
bool nprm[MAXN + 5];
int prm[MAXN + 5], phi[MAXN + 5], pcnt;
void sieve() {
phi[1] = 1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++) {
if( !nprm[i] ) prm[++pcnt] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j=1;i*prm[j]<=MAXN;j++) {
nprm[i*prm[j]] = true;
if( i % prm[j] == 0 ) {
phi[i*prm[j]] = phi[i]*prm[j];
break;
}
else phi[i*prm[j]] = phi[i]*phi[prm[j]];
}
}
}
int c[105][105], f[105][105];
void get_coef() {
for(int i=0;i<=102;i++) {
c[i][0] = 1;
for(int j=1;j<=i;j++)
c[i][j] = add(c[i-1][j], c[i-1][j-1]);
}
for(int i=0;i<=101;i++) {
for(int j=0;j<=i+1;j++)
f[i][j] = c[i+1][j];
for(int j=0;j<i;j++) {
for(int k=0;k<=j+1;k++)
f[i][k] = sub(f[i][k], mul(c[i+1][j], f[j][k]));
}
int iv = pow_mod(i + 1, MOD - 2);
for(int j=0;j<=i+1;j++)
f[i][j] = mul(f[i][j], iv);
}
}
int get_sum(int n, int k) {
int ret = 0;
for(int i=k+1;i>=0;i--)
ret = add(mul(ret, n), f[k][i]);
return ret;
}
int sum[MAXN + 5];
void init() {
sieve(), get_coef();
for(int i=1;i<=MAXN;i++)
sum[i] = add(sum[i-1], mul(mul(i, i), phi[i]));
}
ll n; int k;
int id1[MAXN + 5], id2[MAXN + 5], cnt;
int id(ll m) {return (m <= MAXN ? id1[m] : id2[n/m]);}
ll a[MAXN + 5]; int s[MAXN + 5];
void get_id() {
cnt = 0;
for(ll i=1;i<=n;i=(n/(n/i))+1) {
ll p = n / i;
if( p <= MAXN ) id1[p] = (++cnt);
else id2[n/p] = (++cnt);
a[cnt] = p, s[cnt] = -1;
}
}
int phisum(ll m) {
if( m <= MAXN ) return sum[m];
int &ans = s[id(m)];
if( ans != -1 ) return ans;
ans = get_sum(m % MOD, 3);
for(ll i=2;i<=m;i++) {
ll p = m / i, j = m / p;
ans = sub(ans, mul(sub(get_sum(j % MOD, 2), get_sum((i-1) % MOD, 2)), phisum(p)));
i = j;
}
return ans;
}
int dp[MAXN + 5];
void get_dp() {
for(int i=1;i<=cnt;i++) dp[i] = sub(get_sum(a[i] % MOD, k + 1), 1);
int tmp = 0;
for(int i=1;i<=pcnt;i++) {
ll sq = 1LL*prm[i]*prm[i]; int del = pow_mod(prm[i], k + 1);
if( sq > n ) break;
for(int j=1;j<=cnt;j++) {
if( sq > a[j] ) break;
dp[j] = sub(dp[j], mul(del, sub(dp[id(a[j] / prm[i])], tmp)));
}
tmp = add(tmp, del);
}
}
void solve() {
scanf("%lld%d", &n, &k), get_id(), get_dp();
int ans = 0;
for(ll i=1;i<=n;i++) {
ll p = n / i, j = n / p;
ans = add(ans, mul(sub(phisum(j), phisum(i - 1)), dp[id(p)]));
i = j;
}
printf("%d\n", ans);
}
int main() {
init();
int T; scanf("%d", &T);
while( T-- ) solve();
}詳細@
すべての数値は、長い長いブロックを取ら割り切れるである必要がありますが、モジュロint型に変身します。パンに注意を払っていません。