まずニムの通常のゲームの定義はこれです、：石のいくつかのヒープがあり、石の各杭の数が限られている、法的な動きがある「石の山といくつかの選択肢の作品を取った（取るに失敗することはできません）、」ターン場合誰かのヒープすべての石は（彼は現時点では法的動きを持っていないので）、空、ペナルティ負を取るためにしているとき。
私たちは知っている最も一般的な、最も一般的なNIMテイク石のために、すべて一緒に、石XORの数がゼロでない場合、その後、上の手が勝つためならば、上側の手を失って、0である場合。
以下の具体的な証拠：
1は、ゲームの最終ステータスは、すべての石がゼロにXORていることが分かる、すべての石の数が0でなければなりません。
2、それは今であれば、排他的論理和すべての石のはJである、彼らの我々愛は石のi番目のスタック数、n個のスタックの合計を表します。そして、そこA1 ^ A2 ^ A3 ...... ^アン = J、 我々はバイナリ表現を持つJ、そしてAは、最上位ビットの数の最高レベルは1で、jは（同じ桁数）が同じである、または1 jのことでなければなりませんから来るの？その後、我々は、この数はAmは、だから、Amは^ jは明らかに最上位ビットが小さい排除、私よりも小さくなければならないであることを確認してください。私たちは、元の式はA2であるため^ ... ^ ^ A1アン^ J ^ J = J = 0、アムアム^ Jになるために石を取ることができます;
3、それは排他的または0であれば、その石のいずれかを削除した場合、新しいXORは確かに証明が解決する読者のために非常に簡単ですが、0ではありません。（レイジー〜）
XORが0でない場合の動作が0となって、それを作ることができますので、それで結論があるだろうことは明らかです。
だから今、私たちは、重い頭を持っています。
ビッグゲームのために、私たちは石を取り、我々はゲームとしてn個の小さなそれを参照してくださいこのような、小さなゲームの数としてそれを参照してください。
今、私たちは、石の山を解決する方法を、ある単一のゲームを、検討してください。
我々はそれがない非負のセットに属する最小の整数を示し、所定の設定のための操作をmexで。
いくつかの栗：MEX {0,1,2} = 3、 MEX {1,2,3} = 0、MEX {0,1,3} = 2。
我々は、次に、関数SGを定義する：SG（X）= MEX { SG（Y）| yは} xの後継です。
Yの後継xは何ですか？私たちは、通常のNIMゲームと栗を与えます。石の山は、xの数がある場合は、通常のゲームNIMは、任意の数をとることができますが、取ることができないので、Y 0〜X-1の値がそう後継X 0〜X-1、。
一般的な結論は石のSG（X）= Xをとっているがあります。
私たちは、それが実際には0散歩に行った時に点以上のこの絵で実行されている点であり、SG機能の性質は、我々がマップとしてゲームを置くことを検討してください。0のSG値が値以下それSGが0よりも大きいので、点を失うと現在のポイントを示しています。SG値が0以上であることがポイント値SG 0を来ることができるので、現在のポイントは、勝利ポイントです。
したがって、結論はSGを失っていることはSGが0の勝利よりも大きい場合、0です。
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オリジナルリンクします。https：//blog.csdn.net/Kamisama123/article/details/776491189118
第三に、ゲームの状態の組み合わせ
一部の読者は、最初の3試合で提案し、発見したことは、多くの州が等価です。すべての後、彼らが出て途中でステップので、例えば、フリップゲーム、2プラス記号（「+」）と3つのプラス記号（「+++」）で、状態に相当し、グラブの投票でゲームは、四角形や長方形3×2 2×3は状態と等価です。二つの状態のいくつかの組み合わせと同じである一方は多くの理由のために等価な状態は、互いに独立したサブ状態です。ここで、「独立」は、プレイヤーが唯一のサブ状態に影響を与えることができます任意のさらなる行動を意味します。例えば、フリップゲームでは、「+++±+± - 」と「 - +± - ++++」彼らは「2プラス」と「4プラス」した状態に相当します二つのサブ状態の組み合わせ。ニムのゲームの自然な状態は、サブ状態の数の組み合わせである、石の各ヒープは、サブ状態です。組み合わせの結果は、そのサブ状態の結果（以下は、「親状態」という）場合、状態はかなり検索効率を改善するために、検索時に考慮すべきメモリのニーズの数を減らすことができる推測することができます。
母の状態の結果のサブ状態の結果から推定する方法を説明する前に、私は最初の3試合で3つの他の共通の特徴を指摘したいと思います。彼らは正確性Sprague-グランディ定理の条件であるが、すべての前提は、以下で説明します。
上記2つの条件がそうでない場合は党派ゲームとして知られ、公平なゲームと呼ばれるゲームを満たしています。状況公平なゲームボードのみの情報が含まれるために、状態の必要性の党派ゲーム含まれています「ターンの横にあるの。」プレイヤーのすべての動きは、すべてのサブ状態の「そのターンの下に」情報に影響を与えますので、このため、党派ゲームの状態は、「独立した」サブ状態に分割することはできません。
具体的には、両方の決勝ゴール、自分の手の最終状態に到達、または勝者の最後の一歩を踏み出すために（通常再生と呼ばれます）。ゲームのセクション3も若干変更されたルールは、負の状況（と呼ばれるmisèreプレイ）の最後のステップを取るように変更されたことができますが、以下の議論は、通常のプレイに適用されます。
結合状態の結果に影響を以下に説明します。勝利と敗北の状態キーの状態の本質をブラッシュアップしてください：さらなるアクションの後、敗北状態が状態だけの勝利になることができ、それは（しかし必要ではない）失われた状態になる可能性の状態を受賞します。
2つの倒した状態の組み合わせを見てください。または2つの倒した状態の組み合わせは、状態を破りました。ビューFLACのプレイヤーの観点から、最初のプレーヤーのアクションは、状態の変化は状態、再びこのような状態になる失われた状態に勝つことができるプレーヤーを反転2勝を失ったことができますので、2つの敗北状態は、その最初のプレイヤーに組み合わせスローバック。最終状態が状態を敗北されているので、最終的に最初のプレーヤーは、フリップ勝利ので、故障の状態から成る2つの最終状態に直面するだろう。
勝利と敗北の組み合わせは、2つの状態を見て。状態と勝敗の状態の組み合わせ状態を受賞 - 長い間失われた状態になるために状態を獲得する最初のプレーヤーなどとして、あなたは選手フリップスローの敗北状態に組み合わせる二つの状態を倒すことができます。
最後に、2勝状態の組み合わせを見てください。この組み合わせは、より複雑になっている：これはお互いを残す2つの状態状態に結合勝利を台無しにしてしまうと最初のプレーヤーは、状態が失われてしまう状態を勝ち取るべきではありません。そのため、最初のプレーヤーは、新たな勝利条件を勝ち取る状態にします。FLACプレイヤーは新しい組み合わせの勝利状態+状態に勝つには、同じ戦略を採用すべきである直面しています。ゲームが限られているので、しかし、唯一の状態を獲得することができます遅かれ早かれがあるだろうプレイヤーが失敗した状態となり、ゲームを失うが、私たちは一歩で何が起こるか分かりませんでした。それは唯一の成果は、親状態を起動するのに十分ではない、二つのサブ状態が状態の勝利を知っている、と言うことです。私たちは自然の状態が勝利をタップする必要があります。
四は、スプラーグ・グランディーは、前方の数に置く
、例えば、自然の状態が勝利何でより深い表情を私たちのフリップゲーム。
状態は「++」の結果が失われた状態であり、それが唯一の移動で、最も簡単な勝利状態です。国家「+++」と「++」彼らは実際には同等の状態になるよう、この時点では、同じです。ステータス「++++」二つの異なる移動（移動対称同じオペレータ）がある：第一に、中間プラスマイナス2、このようにして得られたサブ状態「± - +」が失われるが状態、第二エンドプラスマイナス2、このようにして得られたサブ状態が「 - ++」または「+± - 」ウィニング状態である（「+」に相当）。
だから我々は、二つの異なる勝利状態を発見しました。「++」のように、「+++」これは、私たちが呼ぶ状態の勝利と敗北の状態、になることができ、「勝利の状態を。」「++++」のようにこのような状態が失われてしまうことができ、また勝利状態の勝利は、我々はコール状態になることができ、「二つの状態に勝ちます。」同様に、勝利の状態が失われた状態になる可能性がある場合は、その後、私たちは、「N-レベルの状態が勝つ。」と呼んで、すべての状態がn-1までのステージ1になることができます勝利します 敗北の状態はと呼ぶことができる「ゼロ次。」
私たちは、国家と勝利シリーズの組み合わせが関連するかどうかを見てください。FLACプレーヤーを残し、敗北状態に勝利状態となり、更なるアクションに最初のプレーヤーは、国家の勝利を倒すために結合状態と状態を獲得することであるので、2勝と状態の組み合わせは、敗北状態です。二つの状態を獲得する最初のプレーヤーはプレーヤーが二つの状態が敗北に結合されるフリップWINSを残され、状態の勝利に変更することができるので、二状態の組み合わせは、当選状態を獲得し、勝者状態であります状態。2勝し、それが2勝し、敗北状態または状態の一つになるかどうかを最初のプレーヤーは、他のすべての組み合わせの勝利の状態を残して、状態を獲得するので、状態も敗北状態に勝つために組み合わせる二つの状態。
私たちは、パターンを発見したように見える：2勝と国家の同レベルの組み合わせは、二つの異なる州レベルの勝利の組み合わせは、状態を獲得することで、状態を破っています。はい！2つの類似勝状態の組み合わせ、レベルの数は（たとえ障害状態のゼロレベルにそれを回す）した状態を獲得する最初のプレーヤーを減らすためにどんなにを調査し、FLACプレイヤーは常に同じレベルに別の状態を下に勝つことができ、最初のプレーヤーは、最終的には顔に敗北状態に組み合わせた二つの状態を失うことになります。そして、最初のプレーヤーは、国家の勝利の2つの異なるレベルに直面した場合、彼は常に同じレベルの下位レベルの勝利と状態により上級勝ち状態のいずれかになりますので、プレイヤーは敗北状態を反転させておきます。
状態は敗北が勝つために状態または二つの状態に変換することができます勝っていますが、状態の勝利になることができない場合、それは1または3それを考慮しなければならない：上記の定義については州レベルでは抜け穴がある勝利しますか？証明法も抜け穴があります。我々は、デフォルトのアクションは、状態がシリーズの勝利がそれを上昇させないことができ、状態を勝つためにステージの数を減少させる工程を行うことができますか？キーは、法律の認定プロセスは、あなたが状態の勝利の段数を減らしたい場合、あなたはどちらかのレベルを減少させることができることであると指摘しました。私たちが知っているので、上記の状態A勝利状態として定義する必要があります。シリーズに導いたこれは、状態が発生することができ勝利、しかし、あなたは法律を証明するために抜け穴を補うことができますので、それは、大丈夫です：同じレベルの勝利で、二つの状態の組み合わせの下で、最初のプレイヤーは、フリップ、その後、中の状態の勝利シリーズを上げた場合プレイヤーは2つの兄弟勝利のような組み合わせは、静止状態を敗北させた状態、元のレベルに戻って、それをドロップすることができます。
状態をシリーズで定義されて勝つ、我々は2つの状態の組み合わせが問題を決定勝つ親状態の結果に取り組みます。実際には、「シリーズ」の私達の定義は、伝説的な（短縮番号SG）のスプラーグ・グランディ数です。SGは、非負整数への状態関数の数からマッピングされ、その正式な定義は以下の通りであります：
★SG（X）= MEX {SG（Y）| Y}はXの後継です。
A、Bは、状態を表し、[式] Bは、時間の状態Aを表します。MEXは、それが最小excludantの略語である最小の非負の整数の集合に属してい示し、セット上で定義された関数です。この定義は、状態番号SGで平易な言葉で、SGは、その状態を取得するために失敗する回数の最小数に等しいです。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132から転送
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自己説明
他の二重のゲームの問題のために知られている一般的なNIMゲームはほとんどがNIMゲームの形式に変換することができます。
1、ステータスを勝ち負けのゲームは、サブ状態によって得ることができます。我々は、サブ問題へのマルチスタック、スプリットを発行します。
仮定N石の異なるパイルの数、固定された借用ルールの場合には、n個の異なる、SG値をとる：SG値のために。nの値0を失う上部手が石を表すSG [n]は、それが故障点に運命にあります。代表は、ポイントを獲得することができ、他の値については、次のステップを作るための勝敗戦略がなければなりません。
SG（X）= MEX {SG （Y）| yは} xの後継です。
SG-深い理解のために上の図、1,2,3-事実、2個、3勝状態で、後継者への矢印は、3つのケースがので、この層に対応するとみなすことができるされています図は、矢印で本当の接触を持っていない1,2,3-指摘ではありません。図は、「石の山、」例SG値を表します。SG値が0である場合、それは場合であってもよい後継者は、1の状態2、または対応する一連の状態を獲得します。状態の必然的なフリップ勝利ので、上側の手を失うSG 0（アクションを通じてステップに対応し、敗北状態が状態だけの勝利になることができ、それは次のステップは、状態、障害または状態の勝利になるために作るための戦略がなければならない状態に勝つ。）、後手はその後、上側の手に障害状態0に変換され、このケースを選択し、上部の手は常に失敗します。次に、上側のハンドが勝つことができる。同様に、非開始SG 0、は、FLAC投げ不可避故障状態0に変換することができます。SG値の束が0の場合、パイルの結果の状態が知られています。
さらにアクションの後、敗北状態が状態のみ勝ちになることができ、次のステップは、状態、障害または状態の勝利になるために作るための戦略がなければならない状態に勝ちます。0状態は、ステージを対応する非当選状態0を失っている、我々は、プロセスダウンプッシュある後継状態によって現在の状態を導出するMEX {}関数を採用したので。後継の状態を失う0勝利シリーズは（故障状態が状態だけを勝つために変更することができます）0状態よりも大きくする必要があり、状態0の後継状態2がある（次のステップでは、失われたになることをことをポリシー状態が勝たなければなりません状態を状態または勝つ）、3が存在があるかもしれないことに注意してください。しかし、それ以降は、さらにいくつかの例よりも何も、状態を表していません。
シリーズ勝利も高次になることがあり、低レベルの状態にすることができます。しかし、高次のフリップ撮影状況、などここで2-> 3、上側のハンドができ、次いで3-> 2、結果に影響を与えません。、2-> 3 - > 2サイクルが続く通常の2 - > 3、チェンジバック、必ずしも最後ではないと私たちは、石の現在の数に基づいて、SGの状態を起動するためにここにいるだろうされていませんでした。
上記プロセス高次状況に後続状態は、無視することができます。あなたは、彼はちょうどこのヒープを取得しない、束を取ることはありませんSG 0、にかかりますFLACので、それを取るSGが0の場合にも、この「石の山」として見ることができる。またショーは、完成後に撮影されました岩行為、これらの石の石の0石のヒープとしてヒープSG 0ヒープにすることができます。
このケースでは、2つ以上のケースを処理した後SG値を考えることができ、SG値で見ることができ、nは、ゲームNIMようにすることができ0〜N-1となるから、ますます小さくすることができますヒープ石は、より多くのSG値は両方のケースを処理した後、ケースの結果、幸いSG値を変更石の数のわずかに異なるバリエーションの、石の数に合わせて、これまでより少ないと見ることができるされていますNIMゲームの定義。
SG [n]の値は、石の数N状況を与えられたゲームのルールの結果に対応する状態に対応する「石のヒープ」を表します。
ゲームNIMの正しさを理解する場合（例えば、なぜ使用MEX）の場合はどのようにSGへのNIMのゲームの値は、基本的な無問題。
