$ D（X）に$ $ $進数で表現整数デジタルXの和を表します。知ら$ dの（X）の$に関する以下の結論：
$ D（X）\当量X \ PMOD {9} $。だから、任意の正のための整数配列$ A_1、A_2、\ドット、A_N $ $ \ sum_ {i = 1} ^ {n}はD（a_iを）\当量D（\ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを）を有すること\ PMOD {9} $。
小数は、正の整数ドル中、$加えB、和ビット及びキャリー桁が発生あたり$ 9 $を減少させます。従って$のD（+のB）= D（）+ D（B） - 図9C（a、b）は、$。$ C（a、b）は、$ $ B $添加が生じる小数2進数を表します。
{9} $ - 小数連続$ K $ 1は$ \ FRAC {1 10 ^ {K}として表すことができます。$ X = \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ FRAC {10 ^ {K_I} - 1} {9} $即ち$ 9X + N = \ sum_ {I = 1} ^ {n}は10 ^ {K_I } $。Q $ \のarg \ MIN_ {N} 9X + N = \ sum_ ^ {n}は10 ^ {K_I} $ {I 1 =}にタイトル対応します。補助定理によれば、$ N $は、$ D（9X + N）\当量のn \ PMOD {9} $（すなわち、$ D（N）\当量のn \ PMOD {9} $）を満たさなければなりません。任意の正の整数缶テーブル$ Y $ $ \ sum_ {i = 1} ^ {M} 10 ^ {e_i} $と$ M \ GEのD（Y）$を証明するために、さらに、困難ではありません。このように、$ N \ GEさd（9X + N）$が存在しなければなりません。我々は、これら2つの条件が必要十分条件であることを示すことができます。
証明：$ 9X + N $ "1"加算処理を考えてみましょう、私たちはこのプロセスが$ C = \ FRACの場所の合計を取ったことを知っている{9x系+ N - D（9xの+ n）を} {9} $ 回運びます。計算は$ C $の間の任意の時間のキャリーを発生する$ 0 $になりために実際には、我々が手配することができます。その$ 9X + N = \ sum_は{ I = 1} ^ {n}は10 ^ {K_I} $ 長い配列は、$ \ FRAC {9X + N - nが} {9} = X $ ビューがそれを運びます。いわゆる平均「いくつかの取り決めを運ぶ」の例を与えます。$ $ 200の追加のプロセスを考慮すると「1」あなたは$回が運ぶ$ 12手配したいとします。私たちは、$ 10 $「1」のビットが「10」を残して、キャリーを配置しそうと付け加えたと$ 190 $「1」さを思い付くし、次に10を思い付く「1」とし、アレンジを加えることができますキャリー、そして残りの二つの「10」と$ 180 $「1」、操作はその後、我々は10を持って、10回が運ぶ10回を手配し、残りの10「10」と101「1」できるようにします。」 「100「及び101」1「そして最後に10思い付く」1「キャリーを配置するために10の追加、で$ 11 $ビットの総数、及び残りを獲得することにより、」10はキャリービット配列に付加されます。このように、「100」を残して、$ 12 $倍キャリーの合計を配置「10」と$ 90 $「1」
また、当社は、N- $ $上限、$ N <D（9X）+ 10 $を与えることができます。注文$ T = 9X $は、$ D（T）\当量0 \ PMOD {9} $を指摘しました。これらの動作を繰り返すこと$ T $まではゼロになる：$ T \ T + 1 $、$ T \に対するTに - 10 ^場合{H} $、$ H $は、例えば小数点表記で表さ$ T最上位ビットの$を示し$ T = 234 $ = 2 $ $ hです。各動作の$ D（T）の後に\変わらず9 $をBMODと指摘しました。このように、各動作の前に\ GE 10 $ T $が存在しなければならないので、$ H \ GE 1 $があります。$ T \にT + 1 $このステップ、$ D（t）は$ $ 1 $と$の最大で増加したT \にT-10 ^ hは、この手順を$、$ D（t）は、正確に$ 1 $を減らします$。さらに、すべての$ 10 $動作のうち、$ T \に対するT + 1 $結果のイネーブルビットがなければならない発生し、この操作の$ D（T）$ $ 10 $の後に少なくとも低減。したがって、少なくとも操作$ 10 $ $ D（T）$ $ 10 $後たびにそうそこ$ N <D（9X）+ 10 $、減少させました。
注：このリファレンスの説明ソースシブトラミン。