@ 0 - @参照
@ 1--問題が導入さ@
古典的な質問：
4つの正方形、プログラムの2色、どのように多くの種類に四角？
前記オペレータ同じプログラム後の同じ画像の回転。
回転が考慮されていない場合は、各種のプログラムは次のよう。
0°、90°、180：まず第一には、わずか4回転角度、見つけることができます °、270°。
その後、一回転あたりに得ることができる（それ自体であってもよい）他の方式に固有のマッピング方式であってもよいです。
私たちは最初の回転に記載順列P効果を使用することができ、ここでp [i]は、i番目のプログラムは、プログラムの最初のマップされたP [i]の種となった意味します。
この例では、置換は、4種類（0°、90°、180 °、270°）を形成する置換基。
（置換基である何... emmmは、自分のBaiduの上におくことができます）
（それは私自身のメモリライトに基づいているため、以下の表記は、厳格でない）
要素Iように、F jへの変位マップは、我々はで表さた場合は、\（F：I - > J \） 。
置換基Gは、存在する場合（G \で\ F）\、および\（F：X - > Y-の\）を、我々は、x、yは等価クラスであると言います。
明らかに、この推移同値関係は、反射的対称性（グループいくつかの特性に対応します）。
その後、我々は等しく求めてグループG置換の作用の下で等価クラスの数。
@ 2 - バーンサイドの補題@
まずキャスト結論：
我々はFを満たし、Fのための呼び出し：X - > X X F役割の下に固定点のため。C（F）は、固定点fの数を示すメモ。
Gの作用下等価クラスの数：
\ [CNT = \ FRAC {C（F）で\ sum_ {F \ G}} {| G |} \]
BBは、私自身であることが証明され、主流の証明（私は主流の証明を思い出すことができない）とは全く異なる、それは簡単ではないかもしれません。
導入（非常に厳しい）表記：ライト\（S_ {I、Jは} \） J iは、その交換のセットにマップされることを示します。
最初のいくつかの補題を証明します：
補題1：。\（| S_の{I、J} | = | S_の{J、I} | \）
証明：証明する同等\（| S_ {I、J } | \ルを| S_ {J、I} | \）と\（| S_ {J、I}の| \ル| S_ {I、J}の| \）。
ちょうど考える\（| S_ {I、J}の| \ル| \ | S_ {J、I}の）、残りの半分と同じ理由。
以下のための\（S_の中F \ {I、J} \） 、その逆\（F ^ { - }。1 \ S_のに{J、I} \） 。自然と置換群に応じて、各要素の逆数は、ユニークで異なる逆さまざまな要素です。
そう\（S_ {J、I} \） 少なくとも含む\（| S_ {I、J } | \） 要素-すなわち、それらの逆元。
補題2：場合は、\（S_ {I、Jは} \） 、その後、空でない\（| S_ {I、J
} | = | S_ {I、I} | \） 証明：ちょうど証明\（| S_の{I、J} | \ル | S_ {I、I} | \） と\（|のS_ {I、I} | \ル| S_ {I、J}の| \）。\（S_ {J、I} \） 必要に応じて素子\（F \）、\ （F \）と\（S_ {I、J} \） 各\（G \）乗じました\（F * G \） 。どうやら\（F * G \はS_ {I、I} \の中に）、及びgは同じではありません、結果も異なる必要があり、そう\（| S_ {I、J } | \ル| S_ {I、I } | \） 。次にから残っている\（S_ {J、I} \） 必要に応じて素子\（F \）、\ （F \）と\（S_ {I、I} \） 各\（G \）掛け
\（F * G \） 。
そこには、\（S_ {J、I} \の中のF * Gが\）、gは結果が異なる場合、同じではありません。それは与えることもある（S_の{J、I} | | | S_の{I、I} | \ル= | \ | S_ {I、J}の）\（補題1）。
等価クラスの和の固定小数点数= | G |：補題3。
証明：但し、等価クラス\（E = {X_1、X_2、...、X_K} \） 。
そこ（= | | G | | S_ {X_1、X_I}の\ sum_ 1 = {I} ^ {K}が\）\（G内の各順列を入れなければならない\（X_1を\）同値クラスにマッピング数で）。
補題補題1 + 2を得ることができる\（\ sum_ I = {1} ^ {K} | {S_のX_I、X_I} | = | G | \） 、このように証明しました。
| G |固定点の合計数は、等価クラスの数*を=ので、補題3で、我々は、バーンサイドの補題の正しさを推定することができます。
@ 3 - ポリA定理@
（これは重要ではありませんが、それでもプロのポイントを見てみたいが、そのポリA定理ではなく、ポリA定理を注意してください）
バーンサイドの補題統計的等価クラスの一般的な方法、およびポリA定理の提案染色の問題点具体的な計算方法を修正します。
私たちは正直にカウントしている場合、固定点を交換するかどうかにプログラム第2 ^（2 + 2）を計算するために、与えられた問題を開始しました。
データは増加の範囲ときに、プログラムの数の急激な増加は、バーンサイドの補題は無意味であろう。
我々としても、うち2 * 2点を入れ置換群を構築することがあります。以下は、使用可能な色数がm個であると仮定する。
我々は、この変位の影響下で、固定ポイントは確かに同じサイクル内の要素が同じ色に塗装され、交換サイクルのそれぞれを打破します。
C（F）サイクルF総サイクル分解トランスデューサを設定した後、次いで、fは点の数の影響下で移動しない\（M ^ {C（F）} \） 。
Gの作用下で固定小数点数：
\ [CNT = \ FRAC {Cで\ sum_ {F \ ^ {M} G（F）}} {| G |} \]
これは、多項式複雑に複雑さを指数関数することができます。
@ 4 - ポリAフォーム生成関数定理@
見つけることができる、ポリA定理は非常に明白です。しかし、同じポリA定理で、それはまた、非常に人気のアプリケーションです。
しかし！ユニバーサル生成機能を組み合わせた場合、我々はより興味深いの一部を取得することができます。
我々は黒の格子縞、本質的に異なるプログラム番号が固定されているどのように多くを知りたい場合は典型的な例は、始まりです。
今回は発電機能を利用する必要があります。
巡回置換がKサイクルfを分解した場合、ループ部のサイズの各サイクルは、X1、X2、...、XKです。
生成された関数fに対応し、この変位\（F（F）= \ prod_ {I} = ^ {K}。1（BのX_I ^ {^} + {W} X_I）\） 。ここで、B、wは正式な変数です。
置換関数全体グループGが生成する：
\ [F.（G）= \ {FRAC用の\ sum_ {GでF \} F（F）} {| G |} \]
Gの\（iはW ^ * ^ B jは\） 黒と白の塗装J番組グリッドセルIの数に等しい用語の係数。
例えばように、我々は、生成機能を起動し：
{1} {4} \ [F.（G）= \ FRAC（（B + W）^ 4 +（B ^ 4 + W ^ 4）+（B ^ 2。。。 + W ^ 2）^ 2 + （B ^ 4 + W ^ 4））= W ^ 4 + W ^ 3B + 2ワット^ 2B ^ 2 + WB ^ 3 + B ^ 4 \]
その正しさを見つけることができることを確認します。