同時に契約対角化で
定理：
セットは$ A $ $ $ n次実対称正定値行列であり、$ B $が同じ順序の実対称行列であり、確かに可逆行列の$ Cの$、その結果、存在する
\ [C'AC =値In、C'BC = DIAGを\ {\ lambda_1、\ cdots、 \ lambda_n \} \]
$ \ {\ lambda_1、\ cdots 、\ lambda_n \} $ 行列の$ A ^ { - 1} B $の固有値。
証明：
$ $以来行列は実対称行列であるので、$ Q $直交行列が存在している$ P'AP =値In $。$ P'BP $ように、可逆行列の$ P $は、本正定値である、$のQ「（P'BPよう）Q = DIAG \ {\ lambda_1 、\ cdots、\ lambda_n \} $。
$ C = PQ $を行うには、満足$ C'BC = DIAG \ {\ lambda_1あり 、\ cdots、\ lambda_n \} $。 ための
\ [ C「（\ラムダAB）C = \ラムダ値In-C'BC = DIAG \ {\ラムダ\ lambda_1、\ cdots、\ラムダ\ lambda_n \} \]
である$ \ lambda_i $多項式$ | \ラムダAB | $根、および$ $可逆、それは$にも| \ラムダ値In-A ^ - {1} B | ルートを$。
上記定理のいくつかの例の使用を実証である：
例1：
$ N $ $に設定本当の正定値対称行列の順序$、$ B $が同じ順序半正定値実対称行列、$で| A + B | \ GEQ | | + | B | $、 必要かつ十分な条件が確立されている$ B = O $を等しく。
証明：
によって定理知られ、可逆行列の$ C $の存在、その結果
\ [C'AC =値In、C'BC = DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_n \} \]
半明確$ Bが$ので、$ C'BCが、それはまた、半定値であるので、$ $ \ lambda_i原因\ GEQ 0 $。
\ [| C「|| || B + C | = | C'AC C'BC + | =（1+ \ lambda_1）\ cdots（1+ \ lambda_n）
\ GEQ 1+ \ lambda_1 \ cdots \ lambda_n = | C'AC | + | C'BC | = | C「|（| A | + | B |）| C | \]
したがって、$ | A + B | \ GEQ | A | + 。| B | $平等場合にのみ$ \ lambda_i = 0 $のすべて、場合場合に限り、O = $ B $。
備考：
$ $だけ半正定値行列である：上記の例は以下のように一般化することができます。使用した摂動法は、証明することができます。
実施例2：
セット$ A、D $は正方行列であり、$ M = \左（\開始配列} {} {CC
A \\ B＆
B「＆D \アレイ終了{} \右）$実対称正定値行列：証明
M | | \ののLeq | || D | $ $、および$ B = O $が時に設立された場合にのみ等しい。
証明：
$ A $可逆ので、$ M $の契約に早期転換を行わ：
\ [\（\アレイを開始} {} {CC左
A \\ B＆
B「＆D \アレイ終了{} \右）\ RIGHTARROW
\左（\アレイを開始} {} {CC
A＆B \\
O＆D ^ {-B'A - 1} B \アレイ終了{} \右）\ RIGHTARROW
\左（\アレイ} {} {CC始まる
A＆O \\
O＆D-B'A ^ { - }を1件のB \アレイ} {終了\右）\]
従って、$ D-B'A ^ { - 1 } Bの$ 明確正定値行列
\ [\左| \ {CCアレイ} {}始める
A \\ B＆
B「＆右\ Dの\端{アレイ} | = | A || D-B'A ^ { - 1} B | \]
なぜなら$ D =（D-B'A ^ { - 1} B）+ B'A ^ {-1} Bの$、および$ B'A ^ { - 1} Bの $の半正定値行列。上記によれば、実施例1技術、
\ [| D | \ GEQ | D-B'A ^ { - 1} B | + | B'A ^ { - 1} B | \ GEQ | D-B'A ^ { - 1} B | \]
、等特許場合にのみ$ B'A ^ { - 1} B = Oする$ イソブチル非実行列の$ C $は、そこに提供されるように$ A ^ { - 1} = C'C $、 $のO = B ' A ^ { - 1} .. B =（CB）「（CB）$、 トレースが撮影した$のCB = O C $正則ので、$ B = O $は等式が成り立つようになる$ $場合にのみ$ B場合。= O $次いで結論が証明されている。
実施例3：
設定$ A、B $ $ $ n次実正定値対称行列、確認されている
\ [| A + B | \ GEQ 2 ^ N | A | ^ {\ dfrac { 1} {2}} | B | ^ {\ dfrac {1} {2}} \]
十分な条件の等式が成立がB = $ A $である。
証明：
によって定理ように知られている、可逆行列の$ C $の存在下、
\ [C'AC =値In、C'BC = DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_n \} \]
ので明確$ C'BC $に対して$ \ lambda_i> 0 $。ので、$ Bは$正定値
\ [| C「|| || B + C | = | C'AC C'BC + | =（1+ \のlambda_1）\ cdots（1+ \のlambda_n）
\ 2 ^ N-GEQの\のSQRT {\ lambda_1 \ cdots \ lambda_n} ^ N-2 = | C'AC | ^ {\ dfrac 1} {2} {} |。C'BC | ^ {\ dfrac 1} {2} {}
= |（N-2 ^ | C「| | ^ {\ dfrac {1 } {2}} | B | ^ {\ dfrac {1} {2}}）| C | \]
したがって、$ | A + B |の\ GEQ ^ N 2 | A | ^ {\ dfrac {1} {2}} | B | ^ {\ Dfrac {1} {2}} $の等価場合のみならとすべて$ \ lambda_i = 1 $、およびのみ= B用の$ $もしあれば
備考：
上記の例では、使用$、Bの$半定値行列を:.ように一般化することができる摂動法を証明する。
実施例4 ：
$ A、B $が正定値行列、および$ $ AB半正定値行列、確認:.の$ B ^である場合、{ - 1 } -A ^ { - 1} $の半定値行列の
証明：
によって定理既知の存在$ C $正則行列、その結果、
\ [C'AC =値In、C'BC = DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_n \} \]
なぜなら、$ Bは$正定値定値$ C'BC $に$ \ lambda_i>ための0 $。
\ [C「（AB）C = DIAG \ {1- \ lambda_1、\ cdots、1- \ lambda_n \} \]
と$ $半正定値AB、$ \ lambda_I \当量1 $ { - 1} $ \ lambda_i ^へ \ GEQ 1 $ 。起因
\ [C ^ { - 1} A ^ { - 1}（C「）^ { - 1} =値In、C ^ { - 1} B ^ {-1}（C「）^ { - 1} = DIAGの\ {\ lambda_1 ^ { - 1}、\ cdots、\ lambda_n ^ { - 1} \} \]
で
\ [C ^ { - 1} （B ^ { - 1} -A ^ { - 1}）（C ^ { - 1}）「= DIAG \ {\ lambda_1 ^ { - 1} -1、\ cdots、\ lambda_n ^ { - 1} -1 \} \]
明らかに、半定値行列は、$ B ^ { - 1} -A ^ { - 1} $ 半正定値行列。
実施例5：
設定$ A、B $明確$ $ $ $ n次実対称行列、 $と$ B $と$ ABは半正定値行列確認:. $されている| \ラムダAB | = 0 $ $、すべてのルートに落ちた[0,1] $、および$を| | \ GEQ | B | 。$
証明：
によって定理知られ、可逆行列の$ C $の存在、その結果
\ [C'AC =値In、C'BC = DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_n \} \]
$ \ lambda_iの$マトリックスの$ A ^ { - 1} Bの$特徴量、すなわち、$ | \ラムダAB | $の$ Bが$ルートによる半正定値、$ C'BC $半正定値$ \ lambda_iの\のGEQ 0 $します。 。 なぜなら$ $半正定値ABは、$ C「（AB）C = DIAG \ {1- \ lambda_1、\ cdots、1- \ lambda_n \} $ 半正定値、即ち$ \ lambda_1の\の当量1 $ように$ | \ラムダAB |すべて$ \ lambda_i $の$ルートはすべて$ [0,1]と$ $を左| A ^ { - 1 } B | = \ lambda_1 \ cdots \ lambda_n \当量1 $、 そう$ | A | \ GEQ | B | $。
定理：
$ A、B $ $設定n次$半正定値実対称行列の、$ C $可逆実数行列が存在し、その結果、
\ [C'AC = DIAG \ {1 、\ cdots、1,0 \ cdots、0 \}、C'BCは= DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_r、\ R＆LT lambda_ {+} 1、\ cdots、\ lambda_n \} \]。
証明：
$ A $半定値行列ので、可逆の存在行列$ Pが$、例えばP'AP = $ \左（\開始配列} {} {CC
I_r＆O \\
左O＆O \アレイ終了{} \右）$、および$ P'BP = \（\ {} {ザ開始CCアレイは}
B_ {}。11＆12は、B_ {} \\
$半正定値行列）右\ B_ 21は{{}＆B_ 22である} \}終了{アレイ。によって二次理論知られ、$ rを（B_ {21} B_ {22 }）= R（B_ {22}）$。 $ B_ {21} $すべての列ベクトルの$ B_列ベクトルの{22} $の線形結合として表現することができ、実があること$ B_ {21} = B_ {ので、行列$ Mが$、 22} M $の行列の$ P'AP、P'BP $契約変換:.
\ [\左（\始まるアレイ} {} {CC
- I_r＆ M「\\
O＆右）I_ \アレイ終了{}の{NR} \
\（\アレイを開始} {} {CC左
B_ {}。11＆12は、B_ {\\}で
ある22 B_ {}＆B_ 21である} {\端{アレイ} \右）
\左（\開始{アレイ} {CC}
I_r＆O \\
-M」＆I_ {NR} \端{アレイ} \右）=
\左（\開始{アレイ} {CC}
B_ {11} -M 'B_ {22} M＆O \\
O＆B_ {22} \端{アレイ} \右）\]
\ [\左（\開始{アレイ} {CC}
I_r＆-M' \\
O＆I_ { NR} \端{アレイ} \右）
\左（\ {アレイ} {CC}開始
I_r＆O \\
O＆O \端{アレイ} \右）
（左\ \開始{アレイ} {CC}
I_r＆ O \\
-M」＆I_ {NR} \端{アレイ} \右）=
\左（\開始{アレイ} {CC}
I_r＆O \\
O＆O \端{アレイ} \右）\]
由于$ B_ {11} -M'B_ {22} M $与$ B_ {22} $均为半正定矩阵、则存在正交矩阵$ Q_1、Q_2 $、使得
\ [Q_1' （B_ {11} -M 'B_ {22} M）Q_1 = DIAG \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_r \}、
Q_2'B_ {22} Q_2 = DIAG \ {\ lambda_ {R + 1}、\ cdots、\ lambda_n \} \]
だから、P左= C $ \（\開始配列} {} {CC
I_r \\ O＆
\}終了{アレイ\右I_＆{NRの-M」}）
左\（\配列} {} {開始CC
Q_1＆ \\ O
O＆Q_2 \アレイ終了{} \右）$、$ C $実際の可逆行列、その結果、
\ [C'AC = DIAG \ {1 、\ cdots、1,0 \ cdots、0 \} = DIAG C'BC \ {\ lambda_1、\ cdots、\ lambda_r、\のR＆LTのlambda_ {+} 1、\ cdots、\ lambda_n \} \]
推論：
$ Aセット、B $ $は$ n次実半正定値であります対称行列は、次に、
（1）$ + B $と正定値行列のための十分条件は$ N- $の存在である線形独立の列は、$ \ overrightarrow {\アルファ} _1ベクトル 、\ cdots、\ overrightarrow {\アルファ} _n $をインデックスは、I \ subseteq \ {1,2、$設定し 、\ cdots、N \} $ よう
\ [\ overrightarrow {\アルファ} _i'A \ overrightarrow {\アルファ} _j = \ overrightarrow {\アルファ} _i ' Bの\のoverrightarrow {\アルファ} _j = 0（\ FORALL iはNEQ jを\）、\ overrightarrow {\アルファ} _i'Aの\ overrightarrow {\アルファ} _i> 0（\ FORALL iはIで\）、\ overrightarrow {\ アルファ} _j'B \ overrightarrow {\アルファ } _j>0（\ forallはJ \におけるI）\]
（2）$のR＆LT（A、B）= R＆LT（A + B）$
$ A + B $は正定値行列のための必要十分条件は$ R＆LTである（A、B）= N- $（3）
証明：
によって証明定理それは明らかです。
参考：高度な代数 - 研究ガイドブック（第3版）（Xieqi香港）