海の数学に浮かびます
昨年、私はそれにいくつかのベアリングを持っていると考え、数学の世界を体験するために、ほとんど進展を研究、数学の海でさまよってきました。
なぜ、深さの数学の世界では
学生のコンピュータとして、私は数学者になるためのあらゆる試みを持っていません。私の学習数学の目的は、高い高さに立つことを望んで、巨人の肩を登るためには、あなたは私が深く広いのいくつかを研究しているかを見ることができます。すべてのすべてで、私が最初にこの学校に来て、私は、詳細な数学的な旅があるだろう期待していませんでした。私のメンターは当初、それは外観と運動の統合モデルの確立である、私はタイトルをやってみたかったです。対象コンピュータビジョンは、今日の世界で繁栄し、特別な場所がありません。実際には、最近の論文では様々なグラフィカルモデルを使用するもの統一フレームワークのすべての種類、珍しくありません。
私は、現在広く普及しグラフィカルモデルは、複雑な現象をモデル化するための強力なツールです否定しませんが、私はそれは万能薬ではなく、研究課題の詳細な研究のための代替ではないと思います。統計的学習硬化場合は、規律の多くの「下流」は、もはや必要ではないだろう。実際には、最初は、私は私のメンターは、このようなアプローチは、単にいくつかの標準的なプロセスを繰り返し、何も大きな価値がありません、指摘グラフィカルModel--を行うことを考え、ビジョンと他の多くでした。繰り返し長い時間の後、別の経路がゆっくり確立されて - 私たちは、形成された原子のグループの動きの空間分布の何らかの「アトミック」視覚的画像は、動的プロセスの多数によって形成されていると考えています。マイクロ意味での単一原子の動き、およびマクロの意味での全体的な分布を変換深遠な接続がある - 私たちが探検する必要があります。
対象の詳細な探査の過程では、出会いの問題の多くは、接触ミクロとマクロ分布がスポーツを変換描写する方法を、安定しており、広く使われている原子の表現を構築するためにどのように一般的な運動を記述するためにどのように、多くのがあります。プロセスでは、私は二つのことを発見しました。
- 私のオリジナルの数学的基礎は、これらの問題の私の深い研究を満たすことができないはるかにあります。
- 数学では、多くのアイデアやツール、理想的にこれらの問題を解決するために適しているではなく、応用科学の研究者に重点がたくさんあります。
だから、私は私が再び出てくることを期待し、私はすでに、これらの問題の課題に直面しているために、より強力な武器を持っている場合、綿密な数学この広大な海を開始することを決定しました。
私の旅は、まだ深い非常に狭いと比較して、この世界の私のビジョンを終わりませんでした。ここで、私はジュニアからシニア、より高いレベルの数学と数学正確ステップによって、特定のアプリケーションのステップのための利点は何ですかどのように、私の目には、言っています。
集合論：現代数学の共通基盤
現代数学の多数の枝は、しかし、彼らはすべての共通の基盤を持っている、があります - 集合論 - それは、数学この大家族が共通の言語を持っているので。理論を設定し、いくつかの基本的な概念があります。コレクション（セット）、関係（リレーション）、機能（ファンクション）、同等（等価）は、ほとんど数学の言語の他の枝に存在することがバインドされています。これらの単純な概念を理解するために、何か他のものは、数学のさらなる研究のための基盤です。私はこれらのための科学と工学の学生が不慣れではないと信じています。
つまり、「選択公理」（選択公理） -しかし、そのう必ずしも家庭名の非常に重要なことがあります。この公理は、「非空集合の任意のグループは、それぞれが各セットから要素を思い付くことができるようになります。」という意味-それはより明白な命題することができませんでし明らかであるように思われます。しかし、そのようなバナッハような結論の一部のこの一見ことができ、通常の公理ではなく奇妙な解釈-タルスキーボール定理- 「ボールは、5つの部分に分けることができ、彼らは剛体変換のシリーズです（翻訳回転）の後、二つに組み合わせることができ、異なるサイズのボール。」そのため一般的な感覚に完全に反してこれらの結論で、数学的なコミュニティになると、それは激しい論争を持って受け入れるかどうか、非常に長い時間に持っていました。数学の定理の重要な枝の多くはそれに依存しているので、今主流の数学者は、それは、基本的な許容のためにする必要があります。それは規律に来るとき、私たちの後ろに内部取り戻すために、次の定理は選択公理によって異なります。
- トポロジ：ベールの範疇定理
- リアルタイム分析（測度論）：ルベーグの存在は測定不能設定しました
- 機能解析4つの主要な定理：ハーンバナッハ拡張定理、バナッハ・シュタインハウス定理（制服有界性原理）、オープンマッピング定理、クローズグラフ定理
分析（分析）と代数（代数）：集合論に基づき、現代数学は2人の家族を持っています。そのような幾何学と確率論として残り、については、古典数学の時代に、彼らはあると代数並列ますが、現代の感覚では、彼らが分析し、代数ので、その現代版は、基本的には、分析または上の代数に基づいていますないパラレルな関係。
分析：限度に基づいて構築された壮大な大邸宅
微積分：古典時代の分析 - ニュートンからコーシーへ
「数学的解析」と呼ばれる原因いくつかの微積分の教科書である - 私たちは計算からの解析（分析）、それは、それがある開発（Caculus）についてお話しましょう。しかし、分析の範囲はそれよりもはるかにある、私たちは大学の微積分の最初の年で学ぶだけの古典的分析のエントリとみなすことができます。導入された基本計算におけるこれらの基本的な概念 - （誘導体）誘導体、積分（積分）、微分方程式（微分方程式）の数、ならびにシリーズ（無限級数）を含む、多くの目的の解析。1は、それらを介して実行されていると思ったし、それが限界であるがある場合 - これは全体の分析（だけでなく、微積分）の魂です。
多くの人々は、一体型マイクロ発明に対する権利についての話、ニュートン（ニュートン）とライプニッツ（ライプニッツ）議論について聞いてきました。実際には、その日に、微積分の多くのツールは、科学と工学で使うようになったが、基本的な計算は、実際に確立していません。その亡霊は、問題を抱えた数学的なコミュニティ百年の時間の「極微量」と説明していない、長い時間となっている - これは「第二の数学の危機。」微積分の基本的な概念を再確立を視野にコーシー列の上限までは、規律がより強固な基盤を持つようになりました。今日までは、全体の分析は、建物の制限の礎石の上に構築されています。
コーシー（コーシー）は、言語の発達の厳密な分析を提供していますが、彼は微積分のすべての問題を解決しませんでした。19世紀には、世界の分析は、まだ余韻雲のいくつかを持っています。これらの中で最も重要なのは「問題は積分機能するかどうか。」未解決です 私たちは今、積分計算の教科書は、リーマン積分と呼ばれ、「無限のスプリット区間、マトリクス領域とリミットを取って」は、およそ1850年のリーマン（リーマン）によってであることを学習されます。しかし、どのような機能がリーマンの積分それ（リーマン積分）の存在しますか？数学は長い連続関数の閉じられた間隔内で定義され、証明しているリーマン積分です。しかし、この結果は満足のいくものではない、エンジニアは区分的連続関数の積分関数にする必要があります。
実解析：本物の測度理論的には、現代数論や分析を確立
19世紀後半では、問題は、分析の重要な課題となっている連続関数の製品ではありません。発見閉区間上のリーマン不可欠な研究の定義については、キー積分性は「十分に小さい離散点」です。不連続な機能の限られた可積分であるが、多くの数学者は無限大不連続積分機能で多くを構築しました。明らかに、有限と無限の測定セットのサイズは、適切な標準ではありませんポイント。「ポイントセットサイズ」プロセスの問題を議論する、数学者の実数ラインを送信 - 彼らはよく理解すでにこのようなものを考えていた - 彼らは多くの機能があると思いませんでした。リミット思考の支援を得て、実数論は、この時点で構築され、それが実数の連続性にいくつかの等価定理によってマークされて描かれた（実際に拘束定理、ネストされた間隔の定理、コーシーの収束定理、ボルツァーノ - ワイエルシュトラス定理とハイネ・ボレルの定理、など） - これらの定理は実数と有理数の基本的な違いを明確にする：完全性は（非常に厳密に言えば、）操作が閉じて制限することです。実数の深い知識と、「ポイントセットサイズを」問題を測定する方法も（つまり、プロトタイプの「外側の尺度は」）を組み合わせ画期的な、代数の集合のルベーグ創造的な概念、および外部コンテンツを作りましたルベーグ（積分ルベーグ） - 確立測度論（測度論）、そして、さらに対策ベースの統合を確立しました。この新しい統合コンセプトのサポートでは、積分性の問題が明らかになりました。
上記の実数論、理論とルベーグ積分を測定するには、我々は今、実解析（実解析）を呼び出し数学の枝を構成し、いくつかの本も、実変数関数論と呼ばれます。科学の応用のために、それはとても「実用的」実解析の古典的計算をいないようだ - それは直接何のアルゴリズムに基づいて取得するのは難しいです。どこでもどこでも不連続関数のように、または連続どこでもおよび非微分可能関数 - - 技術者の目には、ない現実。また、それはいくつかの「問題」を解決することです。しかし、私が思うに、それはゲームの純粋な数学的概念ではありません、その実用的な意義は、応用数学の多くの近代的な枝のための強固な基盤を提供することです。以下は、私はその有用性のほんの数を一覧表示します：
- リーマン積分関数空間は完全ではありませんが、ルベーグ積分関数空間は完了です。簡単に言えば、リーマン積分可能関数シーケンスは必ずしもリーマン積分ではない関数に収束するが、ルベーグ積分関数のシーケンスは、ルベーグ積分関数に収束しなければなりません。リーマン積分の概念は、この議論はほとんど考えられない場合、機能解析、および近似理論では、多くの場合、我々は、「制限機能」や「シリーズの機能」を議論する必要があります。私たちは、時にはそれがルベーグ積分に基づいており、Lpの関数空間に述べたいくつかの論文を見てみましょう。
- ルベーグ積分はフーリエ変換の基礎を変換である（これらのものは、プロジェクト内のどこにでもある）です。特に希望の理論的には - 信号処理上の多くの小学校の教科書には、実用的に問題の詳細な研究のために、しかし、直接話すその数学的基礎について話をすることなく、実用的なものに直面し、ルベーグ積分をバイパスすることがありいくつかの作業を行う - これは周りに行くことは常に可能ではありません。
- 以下では、測度論は、近代的な確率論の基本で、表示されます。
トポロジ：一般的なスペースを促進するための実軸から分析 - 現代の基礎の抽象的分析
実数の理論の確立により、我々は制限し始め、連続分析は、より一般的な場所に拡張されます。実際には、実数や定理の考え方に基づいて、多くは実際の固有のものではありません。多くの機能が内部のより一般的な空間に拡張し、抽象化することができます。実軸の推進のために、ポイント・セットトポロジー（ポイント・セットトポロジ）の設立に貢献しました。元の多くは、唯一の本当の数の概念に存在し、一般的な議論を抽出しています。内部トポロジでは、4 Cは、そのコアを構成するがあります。
- 閉集合（オフ設定）。近代的なトポロジ自明のシステムでは、オープンセットと閉集合は、最も基本的な概念です。アイデアからすべて。この2つの概念が開区間と閉区間、彼らの基本的な位置を促進することで、認識されるように起動しませんでした。長い時間の後、人々は実現：オープンセットの概念が連続的であるが、閉集合制限動作休館 - と基礎は、究極の分析です。
- 連続関数（連続関数）。トポロジで定義されている所定の言語イプシロン - デルタ、内部によって画定される結石連続関数「は、原発性開放セットとして機能するの開集合」です。そして、2番目の定義は、より抽象的な言語が書き換えられていることを除いて、最初のと同等です。「連続関数は、リミット機能の動作を維持することである」 - - 例えば、yが列X1、X2、X3、...制限数です個人的に、私は基本的に連続関数の定義の本質を明らかにし、それは第三（等価）だと思いますfが連続関数である場合、次いで、その後、（Y）は、fはf（X1）、F（×2）、F（×3）、...限界です。連続関数の重要性は、あなたが別のブランチ分野からの類推を描くことができます。マップの「乗算」を維持するために - たとえば、グループの理論について、基本的な操作は、マッピングの最も重要なのは「準同型」と呼ばれるグループの「乗算」です。分析では、基本的な動作は、「限界」、分析位置に連続関数の状態であり、代数準同型は同等です。
- 接続されたセット（通信の設定）。アイデアは、それが（パス接続）と呼ばれるよりもわずかに狭くなっている、任意の2点の集合である連続的な経路があるに接続されている - 一般的な概念を理解することができます。やや抽象的に一般的な意味でのコミュニケーションコンセプト。私の意見では、便利な2つの重要な接続性があります。値の定理の一般的な証明（中間値定理）ごとに1つは、代数的トポロジー、トポロジー、グループの理論とリー群の理論は、基本的なグループ（基本グループを議論することがあります）程度。
- コンパクトセット（コンパクトセット）。コンパクトは、内部の特殊な初等微積分に表示されていないようですが、そこに本当のには、いくつかの定理があり、それが実際には関連しています。たとえば、「有界列は収束サブシーケンスを存在しなければならない」 - 言語のコンパクトで、それは - 「実空間が閉集合がタイトで囲まれました。」一般的には、音のトポロジで定義され、より抽象的なものである - 「限られた報道があり、サブオープンカバーの任意のコンパクト集合」多くの場合、限られたから無制限への移行を達成するのを助けることができトポロジの定理を議論する際にこの定義は非常に便利です。「列の数に厳しいフォーカス収束サブシーケンスを存在しなければならない」 - - 分析のために、それはより興味深いものです、それは別の形であるということです「限界」それが最も重要なの分析を反映しています 現代の分析でコンパクト非常に広い使用は、あなたが上記の操作を行うことはできません。微積分二つの重要な定理：最小定理（極値理論）、および一様収束定理（一様収束定理）は、一般的な形式を促進するためにそれを利用することができます。
ある意味では、ポイント・セットトポロジは実数に抽象的な理論である「リミット」の一般論として見ることができ、それはほとんどすべての概念は、近代的な分析分野の共通語となって、だけでなく、近代的な分析の全体の財団の。
微分幾何学：マニホールド分析 - 差動構造は、位相空間に導入され、
トポロジは、一般的な位相空間への昇進の概念を制限するが、これは物語の終わりはなく、始まりに過ぎません。内部の計算では、我々は積分微分差動制限を、持っています。微分幾何学である - これらのことは、また、トポロジに基づいて設立され、位相空間に拡張することができます。、微分幾何学の教科書を言う教示から、二つの異なるタイプがあり、一つは、いくつかの幾何学的な量は、主に二次元の計算と三次元空間に関して、古典的なコンピュータ・ポイント「古典的な微分幾何学」に基づいています、曲率など。そのコアコンセプトは、「マニホールド」（マニホールド） - - もう一つは、「現代微分幾何学」と呼ばれるここで仮に、近代的なトポロジーに基づいてセットの位相空間の基礎を追加することができています構造的な微分演算。現代微分幾何学は、非常に豊かな主題です。物事をより複雑にするには、この点で、それまで別の側面 - このような伝統的な差よりも豊富な上、一般的な差動マニホールドの定義として、私自身は、異なる角度から与えられた3つの定義と同等のものを見てきました同じコンセプトの異なる理解、多くの場合、問題を解決するにはさまざまなアイデアにつながります。その上の接空間、余接空間、進め、バック繊維束を引き出し、流れ、浸漬、浸水や：微積分の概念を促進することに加えて、それはまた、多くの新しい概念を紹介します。
近年では、機械学習におけるマニホールドは、流行に非常に多くいるようです。しかし、マニホールドアルゴリズムのいくつかを、率直に言って、いくつかの基本的なマニホールドのアルゴリズムを理解するために、あるいは「作成」、どのように微分幾何学の基礎の多くする必要はありません。私の研究に、微分幾何学の最も重要なアプリケーションが別のブランチにそれの上に構築されている：リーと代数ライ - これは、二つの家族の美しい結婚数理解析と代数です。また、重要な結合アッセイおよび機能解析が代数、および基礎その高調波解析です。
代数：抽象の世界
抽象代数について
振り返ってみると、他の大家族と言う - 代数。
古典計算がエントリ分析である場合には、近代的な代数のエントリポイントは二つの部分である：線形代数（線形代数）と基本的な抽象代数学（抽象代数） - いくつかの国内の材料は現代代数学と呼ばれると言われています。
代数は - 名前の研究は、いくつかの、私の意見では、それは操作の主なルールであると思われます。代数は、実際には、その後、これに基づいて研究し、具体的な業務システムのいくつかの種類から基本的なルールの抽象一部、公理のシステムの構築にあります。加えて設定された動作規則のセットは、代数構造を構成しています。主な代数的構造では、最も簡単なのはグループ（グループ）である - それは通常と呼ばれる可逆的結合率、に沿って、1つの操作のみで「乗算。」この操作は、為替レートに沿ったものでもある場合は、アーベル群（アーベル群）と呼ばれます。二つの動作がある場合、環場合構造が、リッチ環（リング）と呼ばれるように、ミートに分配比率両者を満たすためにレート結合、為替レートと乗算と呼ばれる結合率を満たすために、また呼ばれます乗算は可換環（可換環）と呼ばれる為替レートを、満たしています。すべての良好な特性を有するリングの場合は、加算と乗算、それはドメイン（フィールド）になります。ドメインに基づいて、我々はまた、いくつかの乗算が可能な新しい構造を構築することができ、線形代数（線形代数）を構成します。
代数の利点は、操作のルールの解釈とだけ関係している、と関係なく、コンピューティングに関与するオブジェクトのことです。限り適切なの定義として、猫が:-)豚を取得するために犬を任せることができます。操作の抽象的ルールに基づいて、すべての定理は、猫や犬の乗算を語っ完全に上記取得するために適用することができます。もちろん、実際には、我々はまだいくつかの意味のあることを行うためにそれを使用したいです。学んだ抽象代数、すべてのそのような関連性など、いくつかの簡単なルールに基づいて、知っている、あなたは重要な結論の多くをエクスポートすることができます - 結論は、これらの単純なルールを満たすために、すべてのこれらの場所に適用することができます - これは代数のどこ力であります私たちはもはや、それぞれ特定の領域のために非常に多くの定理を再確立する必要はありません。
抽象代数学の基本はいくつかの基本的な定理を持っている上で、さらなる研究は、多くの場合、2つの学校に分かれています：離散代数構造の限られた研究では、この部分は、一般的に数論、コーディング、および積分方程式これらを使用されている（例えば有限群と有限フィールドなど）場所;もう一つのジャンルは連続の代数構造の研究、通常は一緒に分析し、トポロジに関連付けられている（例えば位相群、リー群など）。私は学習に主に後者である焦点を当てます。
線形代数：「線形」の基礎ステータス
人々が学習、ビジョン、最適化またはそれの統計を行うためには、線形代数よりも接触のほとんどは - 私たちは低学年の大学で勉強を始めた理由です。それに基づいて様々な分野の確立を含む、線形代数、二つの概念の中核は、ベクトル空間と線形変換です。グループ理論的に線形変換線形代数のステータス、および分析における位置の連続関数、または準同型は同じ位置である - それは（付加数による）のマッピングは動作を維持するための基礎です。
線形アルゴリズム宣伝非線形を軽蔑する - 学習で、このような傾向があります。おそらく、以下の多くの場合、我々は非線形の複雑な現実の世界を記述する必要がありますが、どんなには何を、線形の基本的な位置です。いいえリニア根拠なし、いわゆる非線形プロモーションはあり得ません。私たちは、方法は、いくつかの段階で線形回帰を必要とどちらの非線形多様体とkernelizationが含まれる使用しました。マニホールドは、各局所線形空間を必要とし、接続された非線形部分線形空間の数で形成されたマッピングを確立し; kernerlization別に元の線形空間「非線形」リニアマップスペースの積層構造に置き換えられ、その後、線形動作スペースを行うことができます。分析の分野では、線形動作は、分化は、統合は、フーリエ変換、ラプラス変換、変換を意味する統計があり、すべてが直線的である、どこにでもあります。
機能解析：無限から有限次元へWeimaiへ
主な理由は、そのシンプルさの大学で勉強線形代数は、それがために限られたの、私たちは分析ツールのあまりに多くの手段を持っていない有限次元空間です。しかし、有限次元空間と効果的に私たちの世界を表現することはできません - 最も重要な機能は、線形空間を構成しているが、それは次元の無限です。操作の最も重要な機能は、フーリエ変換やウェーブレット解析として、無限次元空間で行われます。これは、無限次元の関数空間の中に、関数（または連続信号）を研究するために、我々は有限次元空間の束縛を打破する必要がある、ことを示唆している - 、機能分析である第一のステップは、あります。
機能解析（機能解析）次元有限と無限の次元を含む一般的な線形空間の研究であるが、物事の多くは非常に些細なようで、本当の難しさは、多くの場合、有限次元の時間の無限次元で表示されます。機能分析では、空間ベクトルの要素は依然として呼び出しが、線形変換は、通常、「オペレータ」（オペレータ）と呼ばれます。加算器の和で加えて、さらにそのような「距離要素」「ベクトル長」あるいは、この空間が呼び出され、「ノルム空間」（ノルム空間）を発現するように甲Rufan番号として、いくつかの操作が追加され、さらに、製品の動作に追加することができ、この空間は、「内積空間」（計量ベクトル空間）と呼ばれます。
それは時間の無限の次元を入力するときに、古い概念の多くは、もはや適用されない、ことがわかった、と必要性はすべてを再検討します。
- すべての有限次元空間は、無限次元空間の多くは（そのよう閉区間上の連続関数として）不完全である（コーシーの収束をシーケンス）完了です。ここでは、完全なスペースは、特別な名前を持っている：完全なノルム空間をバナッハ空間（バナッハ空間）、（ヒルベルト空間）ヒルベルト空間と呼ばれる完全な計量ベクトル空間と呼ばれています。
- 空間での有限次元空間とその双対空間では、それは完全に均質であるが、無限次元空間で、彼らは微妙な違いがあります。
- 有限次元空間において、全ての線形変換（行列）は、変換囲まれており、無限次元では、多くのオペレータは、（無限）非有界であり、最も重要な機能は、導関数の例を与えることです。
- 有限次元空間では、すべての有界閉集合は、そのような単位球面として、きついです。そして、すべての無限次元空間では、単位球はタイトではない - つまり、限界点を発生させることなく、単位球面上の点の無数に投入することができます。
- 有限次元空間において、スペクトルの線形変換（行列）は無限次元空間における特性値の全てに対応して、固有値点のスペクトル組成に加えて、このより複雑なサブスペクトル算術構造、（点スペクトル）そこ近似点スペクトル及び残差スペクトル。複雑なだけでなく、より興味深いものの。オペレータスペクトル（スペクトル理論）オン - このように非常に豊かなブランチを形成します。
- 有限次元空間において、任意の部分空間上の任意の点が投影は常に、そのような良好な特性を有する部分空間は、特別な名前空間チェビシェフ（チェビシェフスペースがあり、必ずしもではない無限次元空間における）。この概念は、現代の近似理論（近似理論）に基づいています。学習における関数空間における近似理論は非常に重要な役割を持っていますが、今現代の近似理論の記事の使用はあまりないです表示されるはずです。
前進し続ける：バナッハ環、高調波解析、およびリー代数
基本的な機能解析には、2つの重要な方向性がある、前方に移動し続けます。最初は（これは乗算の数は異なる）で乗算バナッハ空間（完全計量ベクトル空間）に基づいて導入された代数的バナッハ（バナッハ代数）、です。そのようなマトリックスとして - そのほかいくつかの乗算に加えて、乗算を行うことができます - バナッハ環を構成しています。また、完全な範囲有界作用素、方形積分関数は、バナッハ環を構成することができます。バナッハ環は、抽象的、機能分析である、有界演算子の多くは、彼らが適用され、結論だけでなく、理論的には多くの定理のオペレータスペクトルにつながるだけでなく、事業者にとって、彼らかもしれない一般のバナッハ代数から、実際には得られ、およびアプリケーションの場所オペレーター外。バナッハ代数は、あなたが結論の機能解析の高い標高ビューを放置し、私は現実的な問題でそれを知っていることは何かをもたらすことができる機能解析以上になる可能性が考えられることを残ります。
機能解析と実用的な問題への最もことのもう一つの重要な方向は一緒に高調波解析（高調波解析）です。私はその2つのサブエリア、フーリエ解析とウェーブレット解析を列挙するためにここにいる、私はその真の価値を説明することができたと思います。これは、問題の核心は、関数を近似する基底関数を使用して構築する方法です調べます。それは、研究機能のスペースの問題であり、それは必然的な機能解析をベースとしなければなりません。フーリエ変換とウェーブレット高調波解析に加えても、ハーディ空間として非常に便利な機能スペースの数、ソボレフ空間を検討し、これらのスペースは、優れた自然がたくさんあるエンジニアリングと物理学において非常に重要な用途を有しています。ビジョンのために、表現信号の高調波解析、画像の構成は、非常に便利なツールです。
解析と線形代数は、機能解析や高調波解析を生成するために一緒に来るとき、グループの理論解析とが一緒に来るとき、私たちは嘘（うそグループ）とリー代数（リー代数）を持っています。それらの連続グループの要素への代数構造を与えました。私はいつも、それは非常に美しい数学と思った：システムでは、トポロジー、微分と代数は一緒に来ます。一定の条件の下では、リー群を接触させることにより、および代数ライ、幾何学的に学ぶための重要なモデルとアルゴリズムの数を導入するように、線形部分空間になるようにサブグループ、それは線形動作に変身させるために組み合わせます幾何学的に必要な条件を作成するための運動をモデル化。したがって、我々はリー群を信じているし、大きな意義のビジョンのための代数ライが、それは他の数学の多くを学ぶ必要がある前に、それは、非常に険しい道かもしれ学習します。
現代確率論：近代的な分析に基づいて、再生可能
確率論：最後に、数学の多くの枝は、研究者にとって特に興味深いの簡潔に話すことを学びます。コルモゴロフ以来1930年代に確率測度論の導入以来、測度論は、近代的な確率論の基礎となりました。ここで、確率は、試験条件投影空間における関数の関数として定義される測定確率変数の関数として定義される確率変数の尺度として定義され、平均値は、確率測度測定点の関数です。署名された確率測度は、他の当事者に適用され、その双対空間を構成し、機能解析、近代的なビューの多くは確率論の基本的な概念のアイデアを見て始めた、ランダム変数はベクトル空間を形成することは注目に値します平均値の形成。角度は両方の方法同じですが、同じものではありませんが、同等の基礎を形成します。
研究ギャンブルの理論によって開始され、今主に金融で使用される（そしてここで我々はギャンブルを見ることができます - 現代確率論に基づき、多くの伝統的な枝が大幅マーチンゲールを含むほとんどの代表（マーチンゲール）は、濃縮されました金融の理論、:-P）、ブラウン運動（ブラウン運動） - 積分の確率論的積分（パスランダムプロセスを含む連続的なランダムプロセスの基礎と確率論的解析（確率的微積分）これに基づいて、確立、より代表的には伊藤積分（伊藤積分））と呼ばれ、確率微分方程式。これらの分野での知識の分布を研究するための確率モデルと幾何学的変換の連続的な使用のために分離することができません。
最後に終了 - 読むために、このような長い記事をもたらしてくれてありがとう、私はあなたのコンテンツの一部が便利です願っています。