エントリ仕上げの数に基づいて

（間違った歓迎ギャング論文）

基本定理：

ウィルソンの定理：pは必要十分条件の素数であるP |（P-1）+ 1！

フェルマーの小定理：について素数 p及び整数、もし。（P）= 1、A ^（P-1）= 1（MOD P）

オイラーの定理のための：任意の二つの互いに素な整数A、M 、A 。^ [ピー]（M）= 1（MODのM） 、 Φは、オイラー関数であり、pは素数pの数よりも少ない数を表します。

オイラー関数を解きます：

1  INTオイラー（INT X）
 2  {
 3つの     int型 RES = xであり、n = X。
4      のために（int型 I = 2 ; iは<N = *; iは++ ）
 5          た場合（N％iは== 0 ）
 6          {
 7              のRES =のRES / Iが*（I - 1 ）。
8              一方、（N％のI == 0 ）
 9                  N / A = I。
10          }
 11      であれば（nは> 1 ）
 12         RES = RES / N×（N - 1 ）。
13の     リターンRES。
14 }

オイラー関数値を求めて

1  空隙getEuler（）
 2  {
 3      のために（int型 i = 1 ; iは<MAXN; iは++ ）
 4          E [I] = I。
図5は、     のために（int型 I = 2、I <MAXN; iが++ ）
 6          場合（E [I] == I）
 7              のための（int型 ; J <MAXN J + = J = I）
 8                  E [J] = E [ J] / i *が（I - 1 ）;
9 }

各間隔のためのふるい分けオイラー関数が必要

拡張オイラーの定理：オイラーの定理に拡張アプリケーション！（A、M）= 1の場合は、それが大きなべき乗のために使用することができます

<コード>

剰余定理（中国剰余定理）：

フォームの式のm個の互いに素

だからMは=メートル_。1 * M ₂ ..mの_N-、M _I = M / M _I、T _I = M _I Mモードでは_I乗法逆元の感覚（に参照することができ逆数フェルマーの小定理または拡張ヨーロッパリードいくつかのアルゴリズム）、ソリューションです

=のX ₁ * T ₁ * M ₁ + ₂ * T ₂ *のM ₂ +··· _N- * T _N- * Mの_N- + KM、 Kは整数であり、元の方程式の最小液Xのmod M

mが互いに素ではない場合のために、我々は解決するために組み合わされ、拡張ユークリッドペアワイズを使用する必要がある（埋め込みピット）

<コード>

素数与合数：

固有の因子分解定理：自然数X一意に分解することができ、X = P ₁^{R＆LT _。1} P ₂^{R＆LT ₂} ... P _N-^{R＆LT _N-} （Pは素数であり、rは正の整数）

Xは、すべての要素の数である：（R＆LT + 1 _。1）*（R＆LT 1 + ₂（1 + R＆LT）... _N-）

すべての要因とxの和:( Pの+。1 _。1 + P ₁ 2 Pの+ _。1。3 ... P ₁ R1）（1 + P ₂ + P ₂ 2 + ... + P ₂^{R＆LT ₂}）...（ P + 1 _{N -} + P _N-² + ... + P _N-^{R＆LT _N-}）

Xすべての素数の要因の和：PHI（N）* N / 2、（PHI オイラー関数の、その数をn個とnおよび素数未満を表します。）

エマープは：全て0 <iはXを<ため、（xは<G G（I）が存在する場合はG（X）の定義は、xの数の要因である）のXエマープ呼ばれ

エマープの自然1 ：素因数2エマープから始まる連続した素数でなければなりません

トランス-2- PROPERTIES ：nがエマープ、= Nの場合 P ₁^{R＆LT _。1} P ₂^{R＆LT ₂} ... P _N^{R＆LT _N}、R1> R2 => = .. RN

！Nの因数分解：

その力が得られ、バック計算することができます。

<コード>

エリクセンプライムふるい（NOコード）

1  のための（int型 I = 2 ; I <= MAXN; iが++ ）
 2  {
 3      た場合（！VIS [i]）と
 4          プライム[PCNT ++] = I。
5      のための（int型 J = 0 ; jは<PCNT && iが素数[j]を* <= MAXN; J ++ ）
 6      {
 7          VIS [i *が素数[J] = 1 。
8          もし（I％プライム[j] == 0 ）
 9              ブレーク。
10      }
 11 }

欧拉筛素数

MILLER-ロビンプライムアッセイ

フェルマーの小定理：Aとの任意の整数の素数pと、もし（P）= 1の場合^{、P 1-} ≡1（MODのP）。代わりに、A満たすために^P-を。1 ≡1（MOD P）、Pはほぼ確実プライムなります。

擬似素数：nは正の整数であり、nは満たす正の整数がある場合は互いに素であれば^{、nが1 -} 。≡1（MOD n）で、我々は、nはダミーに基づいて素数であると言います。数が擬似素数であれば、それはほぼ確実に素数です。

ミラーラビンテスト：これ以上N-1以下、Bイル（Sサブ）を選択していき、そこBか否かをその都度算出される^N-1 ≡1（MOD n）を素数を、nはそうでなければ係合されるたびに設定されています番号。　

<コード>

ポラード・ローのファクタリング

-ギャングブログからhttps://blog.csdn.net/Sunshine_cfbsl/article/details/52512706

大きな整数nに対して、我々は、xがnの素因数の確率が小さいとされるようなxのうちのいずれかを取りますが、2個の数x1とx2はそれらの差を取ることはX1を取った場合のn-要因の確率は、増加されるだろうようなものである場合そしてX2ようGCD（ABS（X1-X2）、N）> 1つの、さらに高い確率。これは、ポラードのRho-アルゴリズムの主なアイデアです。

GCD満たす（ABS（X1-X2）を、N）> 1つのX1及びX2、GCD（ABS（X1-X2）、N）は、Nの因数である、それが素数であるかどうかを決定するだけでよい、素数であれば、次いでnが素因数、そうでなければこの再帰的プロセスです。

それはプライムMillerMiller-RabinRabinアルゴリズムを用いて決定されています。

では、どのようx1x1とx2x2それを作り続けるのですか？
X 2 Xによって[I] =（X [に対し、区間[1、N]でランダムX1うち、 I-1] * X [I-1]％N + C）％N cは任意の与えられており、外挿し値は、それが判明し、これはむしろ望ましいです。

<コード>

メビウス反転

（墓地）

原始根

（墓地）