このことは、数論と生成機能に関連する問題に非常に便利です。
まず、定義を見て。
$ \ {bmatrixを}始めるN \\ M \端{bmatrixは} $ である第一種のスターリング数は $ $ n番目表す別の$ M $に要素を無秩序の円形配置いくつかのプログラム。
$ \は\\ N {Bmatrix}を開始する m個の\端{Bmatrix} $ であるスターリング数の第二のタイプ $ $ n番目表す別の$ M $に要素を順不同設定プログラムの数。
その後、我々はそれで何の楽しみの本質を見ることができます。
最初は、再帰式です。
$$ \ N {bmatrixを}開始\\ m個の\端{bmatrix} = \ M-1 \\ 1のn-{bmatrixを}開始\端{bmatrix} +（N-1）\ {bmatrix}を始めるN-1 \ \ Mの\端{bmatrix} $$
$$ \ n \\ m個\端{Bmatrix} = \ {Bmatrix}を始めるN-1 \\ M-1 \端{Bmatrix} + m個の\ {Bmatrix}を始めるN-1 \\ Mの\端{Bmatrixを}開始{Bmatrix} $$
原理は、最初のカテゴリのために、いずれかの最後の要素に配置された円として単独で前または$ N-1 $の要素であり、後ろに挿入要素。
第2カテゴリー共感。
$$ \ sum_ {i = 0} ^ {+ \ inftyの} \ n \\ iは端を\ {bmatrix}開始{bmatrix} X ^ i = \ prod_ {i = 0} ^ {N-1}（X + I ）$$
これは、ファーストクラスの生成機能のスターリング数は、我々はそれを直接生成する機能を誘導することができることを証明するために数学的帰納法を使用することができます。
次いで設け$ S_N（X）= \ sum_ {i = 0} ^ N \ N \\ iは端を\ {bmatrix}開始{bmatrix} X ^ i個の$、
$$ S_N（X）= \ sum_ {i = 0} ^ N \ {bmatrix}始めるN-1 \\ I-1 \端{bmatrix} X ^ I +（N-1）\ sum_ {i = 0} ^ N \ N-1 {bmatrixを}開始\\を私が最後{bmatrixを} \ ^ Iをxは$$
$$ = xS_ {N-1}（X）+（N-1）S_ {N-1}（X）$$
$$ =（X + N-1）S_ {N-1}（X）$$
証明されました。
$$ \ n \\ m個\端{Bmatrix} = FRAC \ {1} {M！} \ sum_ {i = 0} ^ M（-1）^ iはbinom {M}を\ {I}（{Bmatrixを}開始MI）^ nは$$
これは、第二のタイプのスターリング数、事実、および除外で、列挙は$私は$番目のセットが空である、$ I $は、$ N- $その後、別の要素を入れて設定する選択している用語式であります$ $ MI異なるコレクション、リファレンスセットの後、除去する（$ mで割りました！$）
実際には、これはコンボリューションは、それが$ O（nは\ログn）のスターリングの2行目のクラスの$決定番号を指定できます。
番号を見つける方法についてのスターリング私が特別に書いたブログが加え見ることができます。
$$ X ^ K = \ sum_ {i = 0} ^ KI！\ binom {X} {I} \ {Bmatrix} Kを開始\\ iは端を\ {Bmatrix} = \ sum_ {i = 0} ^ KX ^ { \下線{I} \ {Bmatrix} Kを開始\\ iは端を\ {Bmatrix} $$
これは、この式は、いくつかのトピックを行うことができ、通常のパワーと表現の力の衰退です。
同様の式があります：
$$ X ^ K = \ sum_ {i = 0} ^ K（-1）^ {KI} X ^ {\上線{I} \ {Bmatrix} Kを開始\\ iは端を\ {Bmatrix} $$
$$ X ^ {\上線{K}} = \ sum_ {i = 0} ^ K \開始{bmatrix} K \\ iは端を\ {bmatrix} X ^ I $$
$$ X ^ {\下線{K}} = \ sum_ {i = 0} ^ K（-1）^ {KI} \開始{bmatrix} K \\ iは端を\ {bmatrix} X ^ I $$
（実際には、第二式はabove've見られます）
最初スターリング（CF960G）の話題を持つクラスの数がありますが、私はあなたが考えることを示唆しています。