J'ai récemment rencontré un problème lors de l'examen écrit, et maintenant je l'ai enfin résolu. Grâce aux conseils de divers experts, je partagerai ici les résultats.
Xiaohong obtient une séquence qui satisfait :
f(1) = a； f(2) = b； f(i) = f(i-1) * f(i-2) * c^d
La question nécessite de calculer le nombre de facteurs du nième élément, modulo 10^9+1.
Entrée : a, b, c, d, n 5 entiers, (1 <= a, b, c, d, n <= 10^12)
Par exemple : entrée : 1 2 3 4 3
Sortie : 10
Préparation à la théorie de la résolution de problèmes : matrice de puissance rapide, relation facteur et facteur premier
1. La relation entre les facteurs et les facteurs premiers-CSDN Blog
2. Blog algorithme de puissance rapide-python-CSDN
3. Notes d'étude de l'algorithme (4) : Puissance rapide - Zhihu
Le code python est le suivant :
'''
解题思路：
1、分别算出 a, b, c三个数的质因数；
2、通过快速幂矩阵计算出第n项数据中a、b、c的指数（计算过程中要取模）；
3、结合a、b、c的指数，以及a, b, c三个数的质因数，
来求出第n项数据对应的质因数，以及对应质因数的指数；
4、最后将第n项数据的各个质因数的指数分别+1之后相乘，就得到第n项数据的因子个数。
'''
import time
import numpy as np
def add2dict(dic, n):
if n in dic:
dic[n] += 1
else:
dic[n] = 1
return dic
def primeFactors(num):
factors = {}
i = 2
while i * i <= num:
if num % i == 0:
num //= i
factors = add2dict(factors, i)
else:
i += 1
if num > 1:
factors = add2dict(factors, num)
return factors
# 快速幂矩阵
def matrixFastPower(matrix, power, num_mod):
matrix = np.array(matrix) % num_mod
res = np.eye(matrix.shape[0])
while power:
if power & 1:
res = np.dot(res, matrix) % num_mod
power >>= 1
matrix = np.dot(matrix, matrix) % num_mod
return res
if __name__ == '__main__':
start_time = time.time()
a, b, c, d, n = int(1e12), int(1e12), int(1e12), int(1e12), int(1e12)
# a, b, c, d, n = 1, 2, 3, 4, 6
num_mod = int(10e9 + 7)
if n == 1:
factors_a = primeFactors(a, num_mod)
sum = 1
for i in factors_a:
sum *= (factors_a[i] + 1) % num_mod
elif n == 2:
factors_b = primeFactors(b)
sum = 1
for i in factors_b:
sum *= (factors_b[i] + 1) % num_mod
else:
factors_a = primeFactors(a)
factors_b = primeFactors(b)
factors_c = primeFactors(c)
A = [[0, 1],
[1, 1]]
C = [[0, 1, 0],
[1, 1, 1],
[0, 0, 1]]
A_n = matrixFastPower(A, n - 1, num_mod)
C_n = matrixFastPower(C, n - 1, num_mod)
# a_pow = A^(n-1) * [a(1), a(2)]
a_pow = int(np.dot(A_n, np.array([1, 0]).T)[0]) % num_mod
# b_pow = A^(n-1) * [b(1), b(2)]
b_pow = int(np.dot(A_n, np.array([0, 1]).T)[0]) % num_mod
# c_pow = C^(n-1) * [c(1), c(2), d]
c_pow = int(np.dot(C_n, np.array([0, 0, d]).T)[0]) % num_mod
# print(a_pow, b_pow, c_pow)
for i in factors_a:
factors_a[i] = ((factors_a[i] % num_mod) * a_pow) % num_mod
for j in factors_b:
factors_b[j] = ((factors_b[j] % num_mod) * b_pow) % num_mod
if j not in factors_a:
factors_a[j] = factors_b[j] % num_mod
else:
factors_a[j] = (factors_a[j] + factors_b[j]) % num_mod
del factors_b
for k in factors_c:
factors_c[k] = ((factors_c[k] % num_mod) * c_pow) % num_mod
if k not in factors_a:
factors_a[k] = factors_c[k] % num_mod
else:
factors_a[k] = (factors_a[k] + factors_c[k]) % num_mod
del factors_c
sum = 1
for ix in factors_a:
sum *= (factors_a[ix] + 1) % num_mod
sum %= num_mod
print(sum)
print("Time:", round((time.time() - start_time) * 1000, 2), 'ms')