https://www.deeplearning.ai/最初のレッスンの 3 週目のプログラミング課題では、隠れ層ニューラル ネットワークの実装方法を紹介します。
プログラミングの課題は、 https://github.com/stormstone/deeplearning.aiから入手できます。
全体の枠組み
ここで行われるのは二項分類問題であり、X は入力の特徴、Y は分類ラベル、n_h はサンプル数です。
ここで、モデルのトレーニングは 5 つのステップに分かれています。
- 初期化パラメータ W1、b1、W2、b2
- 順伝播。W1、b1、W2、b2 に基づいて現在の入力 A2 を計算し、後の逆伝播のために Z1、A1、Z2 を保存します。
- 予測値A2と実績値Yをもとに、損失関数を用いて全サンプルの誤差、すなわちコスト値を計算します（コスト値の変化をリアルタイムに観察）
- バックプロパゲーション、使用される活性化関数に従って、W1、W2、A1、A2、X、Y、連鎖ルールの導出、dW1、db1、dW2、db2 が得られます。
- 得られたdW1、db1、dW2、db2をもとに、W1、b1、W2、b2を更新します。次に、設定したサイクル数に達するまでステップ 2 ～ 5 を繰り返します。
def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations = 10000, print_cost=False):
"""
Arguments:
X -- dataset of shape (2, number of examples)
Y -- labels of shape (1, number of examples)
n_h -- size of the hidden layer
num_iterations -- Number of iterations in gradient descent loop
print_cost -- if True, print the cost every 1000 iterations
Returns:
parameters -- parameters learnt by the model. They can then be used to predict.
"""
np.random.seed(3)
n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
n_y = layer_sizes(X, Y)[2]
# Initialize parameters, then retrieve W1, b1, W2, b2. Inputs: "n_x, n_h, n_y". Outputs = "W1, b1, W2, b2, parameters".
### START CODE HERE ### (≈ 5 lines of code)
parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
### END CODE HERE ###
# Loop (gradient descent)
for i in range(0, num_iterations):
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
# Forward propagation. Inputs: "X, parameters". Outputs: "A2, cache".
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
# Cost function. Inputs: "A2, Y, parameters". Outputs: "cost".
cost = compute_cost(A2, Y, parameters)
# Backpropagation. Inputs: "parameters, cache, X, Y". Outputs: "grads".
grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)
# Gradient descent parameter update. Inputs: "parameters, grads". Outputs: "parameters".
parameters = update_parameters(parameters, grads,learning_rate = 0.1)
### END CODE HERE ###
# Print the cost every 1000 iterations
if print_cost and i % 1000 == 0:
print ("Cost after iteration %i: %f" %(i, cost))
return parametersチップ
- 活性化関数の役割 活性化関数がない場合、各ニューロンが行う演算は y=kx+b で計算してみると、層が何層あって各層にニューロンが何個あるかは関係ないことが分かります, 結局のところ、それは実際には単なる y=kx. +b です。実際には、多くの分類問題は線形的に解決できないため、分類線を曲げるには活性化関数が必要です。
- sigmoid、tanh、ReLU などのさまざまな活性化関数の違いは、sigmoid の出力が (0,1) であるため、二項分類問題に適しており、同じクラスに属する確率を表すことです。シグモイドに対する Tanh の利点は、データの対称性であると言われています。これはわかりません。ReLU の利点は、入力が小さすぎても大きすぎても、傾きが小さくなりすぎず、効率が向上することです。(入力が小さすぎるか大きすぎると、シグモイド曲線とタンハー曲線の傾きがゼロになる傾向があります)
Q
- シグモイドに対する Tanh の利点は何ですか?
- 損失関数は L = y*log(a) + (1-y) * log(1-a) を使用します。a は予測値です。傾きがゼロになる状況、つまり dW1、dW2、 db1 と db2 はすべて 0 ですが、これは最適な値ではない可能性があります。さまざまな損失関数についてこの状況をどのように知る必要があるでしょうか?
付録
以下が関数の実装ですが、ここでは隠れ層の活性化関数はtanhを使用し、出力層の活性化関数はシグモイドを使用しているので、バックプロパゲーションはこのように導出されます。
# GRADED FUNCTION: initialize_parameters
def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
"""
Argument:
n_x -- size of the input layer
n_h -- size of the hidden layer
n_y -- size of the output layer
Returns:
params -- python dictionary containing your parameters:
W1 -- weight matrix of shape (n_h, n_x)
b1 -- bias vector of shape (n_h, 1)
W2 -- weight matrix of shape (n_y, n_h)
b2 -- bias vector of shape (n_y, 1)
"""
np.random.seed(2) # we set up a seed so that your output matches ours although the initialization is random.
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
W1 = np.random.rand(n_h, n_x) * 0.01
b1 = np.zeros((n_h,1))
W2 = np.random.rand(n_y, n_h) * 0.01
b2 = np.zeros((n_y,1))
### END CODE HERE ###
assert (W1.shape == (n_h, n_x))
assert (b1.shape == (n_h, 1))
assert (W2.shape == (n_y, n_h))
assert (b2.shape == (n_y, 1))
parameters = {
"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
# GRADED FUNCTION: forward_propagation
def forward_propagation(X, parameters):
"""
Argument:
X -- input data of size (n_x, m)
parameters -- python dictionary containing your parameters (output of initialization function)
Returns:
A2 -- The sigmoid output of the second activation
cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2"
"""
# Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
### END CODE HERE ###
# Implement Forward Propagation to calculate A2 (probabilities)
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
Z1 = np.dot(W1,X)+b1
A1 = np.tanh(Z1)
Z2 = np.dot(W2,A1)+b2
A2 = sigmoid(Z2)
### END CODE HERE ###
assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))
cache = {
"Z1": Z1,
"A1": A1,
"Z2": Z2,
"A2": A2}
return A2, cache
# GRADED FUNCTION: compute_cost
def compute_cost(A2, Y, parameters):
"""
Computes the cross-entropy cost given in equation (13)
Arguments:
A2 -- The sigmoid output of the second activation, of shape (1, number of examples)
Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
parameters -- python dictionary containing your parameters W1, b1, W2 and b2
Returns:
cost -- cross-entropy cost given equation (13)
"""
m = Y.shape[1] # number of example
# Compute the cross-entropy cost
### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
logprobs = np.log(A2) * Y + (1-Y)* np.log(1-A2)
cost = -np.sum(logprobs)/m
### END CODE HERE ###
cost = np.squeeze(cost) # makes sure cost is the dimension we expect.
# E.g., turns [[17]] into 17
assert(isinstance(cost, float))
return cost
# GRADED FUNCTION: backward_propagation
def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
"""
Implement the backward propagation using the instructions above.
Arguments:
parameters -- python dictionary containing our parameters
cache -- a dictionary containing "Z1", "A1", "Z2" and "A2".
X -- input data of shape (2, number of examples)
Y -- "true" labels vector of shape (1, number of examples)
Returns:
grads -- python dictionary containing your gradients with respect to different parameters
"""
m = X.shape[1]
# First, retrieve W1 and W2 from the dictionary "parameters".
### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
### END CODE HERE ###
# Retrieve also A1 and A2 from dictionary "cache".
### START CODE HERE ### (≈ 2 lines of code)
A1 = cache["A1"]
A2 = cache["A2"]
### END CODE HERE ###
# Backward propagation: calculate dW1, db1, dW2, db2.
### START CODE HERE ### (≈ 6 lines of code, corresponding to 6 equations on slide above)
dZ2 = A2 - Y
dW2 = np.dot(dZ2,A1.T) / m
db2 = np.sum(dZ2,axis = 1, keepdims = True) / m
dZ1 = np.dot(W2.T,dZ2) * (1 - np.power(A1, 2))
dW1 = np.dot(dZ1,X.T) / m
db1 = np.sum(dZ1,axis = 1, keepdims = True) / m
### END CODE HERE ###
grads = {
"dW1": dW1,
"db1": db1,
"dW2": dW2,
"db2": db2}
return grads
# GRADED FUNCTION: update_parameters
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate = 1.2):
"""
Updates parameters using the gradient descent update rule given above
Arguments:
parameters -- python dictionary containing your parameters
grads -- python dictionary containing your gradients
Returns:
parameters -- python dictionary containing your updated parameters
"""
# Retrieve each parameter from the dictionary "parameters"
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
### END CODE HERE ###
# Retrieve each gradient from the dictionary "grads"
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
dW1 = grads["dW1"]
db1 = grads["db1"]
dW2 = grads["dW2"]
db2 = grads["db2"]
## END CODE HERE ###
# Update rule for each parameter
### START CODE HERE ### (≈ 4 lines of code)
W1 -= learning_rate * dW1
b1 -= learning_rate * db1
W2 -= learning_rate * dW2
b2 -= learning_rate * db2
### END CODE HERE ###
parameters = {
"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters