一貫性の紹介
2 つの一般化定常ランダム プロセス間のコヒーレンス関数は
、クロス パワー スペクトルをオートパワー スペクトルで割った積の平方根に等しくなります。具体的には、複素コヒーレンスは次のように定義されます。
ここで、複素クロスパワースペクトルは次のようになります。
は相互相関関数のフーリエ変換です
ここで、x と y は実数で、E は数学的期待値を表します (エルゴード的確率過程の場合、設定平均は時間平均で置き換えることができます)。コヒーレンスは正規化されたクロスパワースペクトル密度関数であり、二乗コヒーレンス (MSC) は次のように定義されます。
コヒーレンス機能は、システム識別、信号対雑音比 (SNR) 測定、時間遅延の決定など、多くの分野に応用できます。コヒーレンス、特に二乗コヒーレンス (MSC) は、その値を正確に推定できる場合にのみ機能します。実際、評価者の統計を理解することは非常に望ましいことです。そこで、この節ではコヒーレンス機能について説明します。次のセクションでは、MSC と推定量の統計を正しく推定するプロセスについて説明します。
コヒーレンス、特に MSC の興味深い解釈は、2 つのプロセスの相対的な直線性の尺度です。これを説明するために、図 1 を考えてみましょう。
定常ランダムプロセスのサンプル関数 y(t) は、
線形フィルターの応答と誤差成分 e(t) で構成されます。e(t) の二乗平均値、つまり誤差スペクトルの下の領域を最小化するために線形フィルターが選択された場合、
それは x(t) と線形に関係する y(t) の部分になります。e(t) のスペクトル特性は次の式で与えられます。
式中、*は複素共役を表し、H(f)はフィルター伝達関数です。誤差範囲は次のとおりです。
したがって、最適なフィルターは次のように与えられます。
コヒーレンスは最適な線形フィルターに関連付けられていることに注意してください。
これらの結果は、y(t) のソースに関係なく当てはまります。線形フィルターが二乗平均の意味で最適である場合、誤差は x(t) とは何の関係もありません。つまり、次のようになります。
さらに、
の最小値は次の式で求められます。
見てわかるように
MSC を y(t) の線形成分の比率として表します
。
これは、誤差
、つまり y(t) の非線形成分の比率です。これらの結果は、図 2 および 3 に示す構成に適用できます。
Welch Overlap Segmented Average (WOSA)による MSC 推定の統計分析
A. はじめに_
MSC 推定統計に関するこれまでの研究の多くは WOSA 法を中心としており、変数を合理的に解釈すれば、これらの結果はラガー リシェイプ法にも適用できます。WOSA メソッドは、調査中の確率過程から 2 つの有限時系列を取得することから構成されていることを思い出してください。各時系列は同じ長さのセグメントに分割され、等間隔のデータ ポイントでサンプリングされます。断片が重なっています。ただし、統計は分析開発と重複しない部分です。重複するセグメントの経験的結果が示されています。各セグメントのサンプルに重み付け関数が乗算され、重み付けされたシーケンスの FFT が実行されます。次に、各重み付けセグメントのフーリエ係数を使用して、自動パワー スペクトル密度とクロスパワー スペクトル密度が推定されます。結果として得られるスペクトル密度推定値は、MSC 推定値を形成するために使用されます。
推定のスペクトル分解能は、セグメント長 t に反比例して変化します。t 秒の適切な重み付けまたは「ウィンドウ処理」も、適切なサイドローブの削減を達成するのに役立ちます。一方、理想的なウィンドウを持つ独立したセグメントの場合、MSC 推定値のバイアスと分散はセグメント数 n に反比例します。したがって、限られたデータで適切な推定値を生成するには、n と t のセグメントの重複を増やすことができます。セグメントが交差しない、つまり重なり合わない場合、セグメントの数を と呼びます
。ただし、オーバーラップのパーセンテージが増加すると、計算要件が急速に増加しますが、データ セグメント間の相関関係が増加するため、改善は頭打ちになります。
B. MSCによって推定された確率密度
MSC の真の値と独立セグメントの数ndを考慮して、MSC の推定一次確率密度および分布関数を表 1 に示します
。象徴的に、 を思い出してください
。
超幾何関数「 」は次数
( ) の多項式であるため、この表の式 (1b) および (1c) が役に立ちます。
図 5 と図 6 は、表 1 の (1b) と (1d) から計算された、いくつかのケースにおける確率密度関数と分布関数を示しています。
図 6 から、増加すると MSC 推定の分散が減少することが明らかです。
得られたバイアスと分散の式を表 2 に示します。近似値 (2c) と (2d) は、シーケンス (2a) と (2b) を切り詰めた結果です。式 (2e) から (2g) は大きなものに適用されます
。これらは、MSC 推定値が漸近的に不偏であることを示し、
大きなものについては次の結論を導き出すことができます。
1) MSC が 0 に等しい場合、偏差は最大となり、
MSC が 1 に等しい場合、偏差は最小となり、0 となります。
2) MSC が 1 に等しい場合、分散は 0 です。MSC が 1/3 に等しい場合、分散は最大になります
。
3) MSC がゼロでない場合、真の値からの平均二乗誤差は分散に等しくなります。
関連コード
clear
%实际的MSC分别为0，0.3，0.6，0.9时的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）
nd=32;C_list=[0 0.3 0.6 0.9];
estimate_C=0:0.01:1;%估计的MSC
figure(1)
for i=1:length(C_list)
C=C_list(i);
PDF=(nd-1)*((1-C).^nd)*((1-estimate_C).^(nd-2))...
.*((1-C.*estimate_C).^(1-2*nd))...
.*(hypergeom([1-nd,1-nd],1,C*estimate_C));
PDF=PDF/max(PDF);
plot(estimate_C,PDF);xlabel('estimate C');ylabel('PDF')
legend('C=0', 'C=0.3', 'C=0.6', 'C=0.9');
hold on
end
figure(2)
for j=1:length(C_list)
C=C_list(j);
CDF1=hypergeom([0,1-nd],1,C*estimate_C);%当k=0时
for k=1:nd-2
CDF1=CDF1+(((1-estimate_C)./(1-C*estimate_C)).^k)...
.*hypergeom([(-k),1-nd],1,C*estimate_C);
end
CDF=estimate_C.*(((1-C)./(1-C*estimate_C)).^nd).*CDF1;
CDF=CDF/max(CDF);
plot(estimate_C,CDF);xlabel('estimate C');ylabel('CDF')
legend('C=0', 'C=0.3', 'C=0.6', 'C=0.9');
hold on
end
%C=0.3;nd分别为32和64时的PDF和CDF
estimate_C=0:0.01:1;
C=0.3;nd_list=[32 64];
figure(3)
for i=1:length(nd_list)
nd=nd_list(i);
PDF=(nd-1)*((1-C).^nd)*((1-estimate_C).^(nd-2))...
.*((1-C.*estimate_C).^(1-2*nd))...
.*(hypergeom([1-nd,1-nd],1,C*estimate_C));
plot(estimate_C,PDF);xlabel('estimate C');ylabel('PDF')
legend('nd=32', 'nd=64');
hold on
end
figure(4)
for j=1:length(nd_list)
nd=nd_list(j);
CDF1=hypergeom([0,1-nd],1,C*estimate_C);%当k=0时
for k=1:nd-2
CDF1=CDF1+(((1-estimate_C)./(1-C*estimate_C)).^k)...
.*hypergeom([(-k),1-nd],1,C*estimate_C);
end
CDF=estimate_C.*(((1-C)./(1-C*estimate_C)).^nd).*CDF1;
CDF=CDF/max(CDF);
plot(estimate_C,CDF);xlabel('estimate C');ylabel('CDF')
legend('nd=32', 'nd=64');
hold on
end
シミュレーション結果
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