【学習ノート】CF1817F もつれた部分文字列（基本的な部分文字列構造）

前提知識: 基本的な部分文字列構造、SAM の構造と応用

シニアブログ

超弦理論は比較的抽象的なため、直感的に理解することをお勧めします。

部分文字列$t$の拡張文字列は ext(t) : = t ' \text{ext(t)}:=t'として定義されます。$\text{内線(t)}:=t^{}$満足です${}^{tt}$$t$はt't'です$t^{\text{'}}$の部分文字列$\text{occ(t)}=\text{occ(t')}$

基本特性: if $t=[l:r]、t^{』}=[l^{』}:r^{\text{'}\text{'}}]$，$t^{「」}=[l^{「」}:r^{\text{'}\text{'}}]$，利用${私}^{』}\le {私}^{「」}\le 私\le r\le r^{「」}\le r^{\prime }$，则$\text{内(t”)}=t^{』}$

部分文字列$\times 、y\; は、$ ext(x) = ext(y) \text{ext(x)}=\text{ext(y)} の場合にのみ同等です。$\text{拡張子(x)}=\text{ext(y)}$ . そして、各同値類の最も長い文字列を代表要素として記録します。

在$s[l:r]\mapsto (l、r)$の作用下で$y=x$より上の点は、同値クラスによっていくつかのはしご状のセットに分割されます。ここで、$\text{g}$に対応するラダーの出現数はocc(rep(g)) \text{occ(\text{rep(g)})} となります。$\text{occ( rep(g) )}$。

同値クラスggの場合特定の完全なステップ$では$、完全な行に対応する部分文字列のセットはT 0 T_0と同じです。$T_{}$のノードに対応する部分文字列のセットは同じであり、完全な列に対応する部分文字列のセットは$T_{}$（逆文字列に対応する接尾語木） あるノードに対応する部分文字列の集合は同一であり、１対１に対応する。

同値クラス$g$の周囲長はラダーの行数とシーケンス数の合計${\sum }_{}\text{(g)あたり}=O\left(n\right)$

もっと抽象的。あまり直感的ではありません。

この構造を明示的に見つけるにはどうすればよいでしょうか?

最初の方法: $T_{}$父から子へのツリー エッジ。ある行の左境界から別の行の右境界までを指します。T $T_{}$ある列の上端から別の列の下端までを結ぶ、父から子への木の端。

たとえば、$s=\underline{}$、それに対応するラダーは次のように分割されます。

対応する$SAM$とT 0$T\_0$$T_{}$のために：

対応する接続​​エッジは次のとおりです。

2 番目の方法 (より一般的に使用されると思われます): $DAG$上の( u , v ) (u,v$)$$(あなた、v)$，如果$\text{occ(u)}=\text{occ(v) を}$使用して、このエッジをキー エッジとしてマークします。

プロパティ: クリティカル エッジのみが保持される場合、各ポイントの入次数と出次数は最大でも 1 つであるため、いくつかのクリティカル チェーンが得られます。明らかに、チェーンの終端が代表要素であり、チェーンは同値クラスを表します。

この質問が私たちに何を求めているのか考えてみましょう。文字列のペア$(b_{}、b_{})\; は、$次の条件が満たされる場合にのみ有効です。

$1.1$ $b_{}、b_{}$同一等価クラス内
$1.2$ b 1 , b 2 b_1,b_2 とする$b_{}、b_{}$同値類の代表要素は$b$，那么$b_{}、b_{}$bbで$b$に現れる位置は$b_{}$b 2 b_2で$b_{}$左

このようにして、各階段の答えを数えることができます。(数字と図形の組み合わせ、下付き文字を明確にすることをお勧めします)

要素のlen \text{len}を表します$\text{Len は}$実際には、はしごの左上隅の水平座標と垂直座標の差を表します。

複雑さ$O\left(n\right)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=2e5+5;
struct node{
    
    
    int to[26],link,len,sz;
}t[N];
int n,cur,last,tot,sz[N];
void extend(int ch){
    
    
    int cur=++tot;
    t[cur].len=t[last].len+1,t[cur].sz=1;
    int p=last;
    while(p!=-1&&!t[p].to[ch]){
    
    
        t[p].to[ch]=cur;
        p=t[p].link;
    }
    if(p!=-1){
    
    
        int q=t[p].to[ch];
        if(t[q].len==t[p].len+1){
    
    
            t[cur].link=q;
        }
        else{
    
    
            int clone=++tot;
            t[clone].link=t[q].link;
            for(int i=0;i<26;i++)t[clone].to[i]=t[q].to[i];
            t[clone].len=t[p].len+1;
            while(p!=-1&&t[p].to[ch]==q){
    
    
                t[p].to[ch]=clone;
                p=t[p].link;
            }
            t[q].link=t[cur].link=clone;
        }
    }
    last=cur;
}
string str;
int nxt[N],vs[N];
int st[N],cnt;
ll s[N];
ll res;
vector<int>G[N];
void dfs(int u){
    
    
    for(auto v:G[u])dfs(v),t[u].sz+=t[v].sz;
}
int main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    t[0].link=-1;cin>>str,n=str.size();
    for(int i=0;i<n;i++)extend(str[i]-'a');
    for(int i=1;i<=tot;i++)G[t[i].link].pb(i);
    dfs(0);
    for(int i=1;i<=tot;i++){
    
    
        for(int j=0;j<26;j++){
    
    
            int k=t[i].to[j];
            if(k&&t[i].sz==t[k].sz)nxt[i]=k,vs[k]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++){
    
    
        if(vs[i]==0){
    
    
            cnt=0;int e=0;
            for(int j=i;j;j=nxt[j])e=j,st[++cnt]=t[j].len-t[t[j].link].len;
            for(int j=1;j<=cnt;j++)s[j]=s[j-1]+st[j];
            int p=1,len=t[e].len;
            for(int j=len-cnt+1;j<=st[cnt]&&j<=len+1;j++){
    
    
                while(p<=cnt&&st[p]<j)p++;
                res+=s[cnt-len+j-1]*(cnt-p+1);
            }
        }
    }cout<<res;
}