[01 バックパック理論] 01 バックパック問題 dp[i][j]
n 個のアイテムと最大重量 w を運ぶことができるバックパックがあります。
i 番目の項目の重みをweight[i]、得られた値をvalue[i]とします。
各アイテムは 1 つだけあり、バックパックに入れるアイテムのうち、アイテムの合計値が最も大きいものを見つけます。
答え
動的プログラミング
-
dp 配列と添字の意味を確認します。dp
[i][j] は、添字 [0-i] を持つアイテムを取り、それを容量 j のバックパックに入れる場合、最大合計はいくらになることを意味します。価値。 -
漸化式の決定は
2 つの方向から導き出すことができますdp[i][j]。- アイテムなし
i:dp[i - 1][j]から導出される、つまりバックパックの容量は であり、このときjアイテムなしの最大値は です。（実際には、アイテムの重量がバックパックの重量よりも大きい場合、アイテムはバックパックに入れられないため、バックパック内の値は以前と同じです）idp[i][j]dp[i - 1][j]iji - アイテムを入れる
i：dp[i - 1][j - weight[i]]より、dp[i - 1][j - weight[i]]バックパックの容量が のとき、j - weight[i]アイテムを入れない場合のi最大値、そして、（dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]アイテムiの値）iは、バックパックにアイテムを入れた場合に得られる最大値です。
したがって、再帰式は次のようになります。dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- アイテムなし
-
dp配列の初期化方法
dp[i][j]の定義から、バックパックの容量jが0、つまりdp[i][0]の場合、どの項目を選択しても、バックパックは0でなければなりません。
状態遷移方程式から、i は i-1 から導出されることがわかり、i が 0、dp[0][j] のときに初期化する必要があります。つまり、i が 0 で、番号 0 の項目を格納するときは、各容量 バックパックに収納できる最大値。- j < Weight[0] の場合、バックパックの容量はアイテム番号 0 の重量より小さいため、dp[0][j] は 0 になるはずです。
- j >= Weight[0] の場合、バックパックの容量はアイテム番号 0 を保持するのに十分であるため、dp[0][j] は value[0] である必要があります。
-
走査順序を決定する
dp[i][j] はその上部と左上から導出されます。走査の次元は 2 つあります: アイテムとバックパックの重量です。 -
dp 配列を導出する例を見てみましょう (dp 配列を出力します)
public class Solution {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {
1,3,4};
int[] value = {
15,20,30};
int bagSize = 4;
testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
}
/**
* 动态规划获得结果
* @param weight 物品的重量
* @param value 物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
// 获取物品的数量
int goodsNum = weight.length;
//定义dp数组：dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
int[][] dp = new int[goodsNum][bagSize + 1];
// 初始化dp数组，其中默认的值就是0
for (int i = weight[0]; i <= bagSize; i++) {
dp[0][i] = value[0];
}
// //遍历，先遍历背包，再遍历物品（竖着遍历）
// for(int j = 1; j <= bagSize; j++) { // 遍历背包容量
// for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
//遍历，先遍历物品，然后遍历背包重量（横着遍历）
for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
// 遍历物品
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
// 遍历背包容量
if (j < weight[i]) {
/**
* 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
* 那么前 i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
*/
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
/**
* 当前背包的容量可以放下物品i
* 那么此时分两种情况：
* 1、不放物品i
* 2、放物品i
* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
*/
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}
// 打印 dp数组
for (int i = 0; i < goodsNum; i++) {
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + "\t");
}
System.out.println("\n");
}
}
}