多角形内の点を判定する方法はmatlabで実現しています（点が凸包内にあり任意の形状を判定します）

プログラミング 2023-08-06 15:06:05 訪問数: null

多角形内の点を判定する方法はmatlabで実現しています（点が凸包内にあり任意の形状を判定します）

従来の説明: 私には関連するエンジニアリング アプリケーションの経験はなく、純粋に関連するアルゴリズムに興味があるという理由でこのブログを書いているだけです。間違いがある場合は、コメント欄で修正していただければ幸いです。ありがとうございました。この記事では主にアルゴリズムの実装に焦点を当てていますが、実際のアプリケーションなどについては経験がありませんので、これ以上は触れません。

0 まえがき

この記事では、点が多角形内にあるかどうかを判断するためにコンピュータで一般的に使用される方法について簡単に説明します。この実用的な用途は、純粋に幾何学的な判断をしたり、範囲を選択してデータがこの範囲を超えているかどうかを確認したりするなど、非常に一般的です。

点が多角形内にあるかどうかを判断する場合、通常、まず多角形の図形を特定し、次にその点が認識された図形の範囲内にあるかどうかを確認します。しかし、非常に複雑なグラフィックスの場合、一度に結論を出すのは容易ではなく、この種のグラフィックスベースのアルゴリズムは実際には効率的ではなく、コンピューターの計算には適していません。

点が多角形内にあるかどうかを判断するために一般的に使用されるアルゴリズムは、多角形の変数 n に関連しており、通常は O(n) 程度であるため、実際には誰にとっても大きな違いはなく、状況に応じて異なります。誰がより良く最適化できるかについて。ただし、凸多角形の場合は、二分アルゴリズムを使用して計算の複雑さを O(logn) レベルに減らすことができます。これについては後で説明します。

今後時間があれば、点が三次元多面体にあるか高次元多面体にあるかを（穴を埋めずに）判定する記事を書いてみたいと思います。

この記事で参照したブログと論文は次のとおりです。

[1]凸多角形（計算幾何学、多角形内の点の判定、二分法）
https://www.cnblogs.com/yym2013/p/3673616.html
[2] 多角形内の点の判定アルゴリズム（ワインディング）番号の詳細説明）
https://www.codenong.com/cs106265948/
[3]Hormann K, Agathos A. 任意の多角形に対する多角形の点問題[J]. 計算幾何学, 2001, 20(3): 131-144 。

1 光線交差法（Crossing Number）

この方法はレイ法または奇偶規則法と呼ばれます。原理は、点 P から外側に光線を発射することです。光線と多角形の交点の数が奇数の場合、点 P は多角形の内側にあります。

シャボン玉を想像してみてください、シャボン玉から抜け出したいと思ったら、シャボン玉を一度くぐり抜けなければなりません。2 つのシャボン玉が通過した場合、1 つは入って 1 つは通過しないことになります。
画像の説明を追加してください
通常、簡単にするために、光線は +x 方向、つまり右方向として直接選択されます。

1.多
角形の範囲を大まかに定義し、その範囲を超えた場合は再度判定する必要はなく、そのままグラフ外と判定します。
2 +x 方向で光線と交差する線分の場合、その y 範囲は光線の両端になければなりません。つまり、線分が光線の真上にある場合、または線分が光線の真下にある場合は交差することができないため、交点を計算する必要はありません。
3 +x 方向で光線と交差する線分を光線の左側に置くことはできません。
画像の説明を追加してください

この方法は非常に簡単に見えますが、まだ考慮すべき点がいくつかあります。例えば、稜線も水平線の場合、交点はどのように計算すればよいでしょうか？点がサイドライン上にある場合、交点はどのように計算すればよいでしょうか? サイドラインが正確に水平線で、ポイントもこのサイドライン上にある場合、交点はいくつカウントされますか? ポイントの光線がポリゴンの頂点を通過するときに 2 つのエッジと交差するバグが発生しませんか?

これらの問題に対する私のおおよその解決策は、点がエッジ上にあるかどうかを判断するために特別に使用されるエッジ点の概念を設定することです。点が水平線の辺上にある場合、交差するかどうかは計算されず、直接辺上の点として扱われます。交点の判定は、二重カウントを避けるため、一方が以下、もう一方が未満という方法を使用します。また、計算には誤差が含まれるため、誤判定を防ぐために、算出された交点 xc に誤差幅を加える必要があります。

あまり言うことはありませんが、MATLAB プログラムは次のとおりです。

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
%BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];

[IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly1(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly+2*IsOnBD,'Marker','.')
%scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,or(IsInPoly,IsOnBD),'Marker','.');%不显示边线

%后置函数
function [IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly1(BD,xy2)
%输出逻辑索引（IsInPoly表示在内部，IsOnBD表示在多边形边界上）
%BD是多边形边界，存在顺序，两列。xy2是点的坐标，两列。
%方法1，射线法
if (BD(1,1)~=BD(end,1)) || (BD(1,2)~=BD(end,2))
    BD2=[BD;BD(1,:)];
else %给出的边界已经收尾相接
    BD2=BD;
end
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
NB=size(BD2,1)-1;
NP=size(xy2,1);

IsInPoly=false(NP,1);%true(NP,1);%false(NP,1);
IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD(:,1));
max_X_BD=max(BD(:,1));
min_Y_BD=min(BD(:,2));
max_Y_BD=max(BD(:,2));
%做+x方向的射线
for kp=1:NP
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        %IsInPoly(kp)=false;
        continue
    end
    %循环每一条边
    NCross=0;%初始化交点数量
    for kB=1:NB
        xB1=BD2(kB,1);xB2=BD2(kB+1,1);
        yB1=BD2(kB,2);yB2=BD2(kB+1,2); 
        %如果在+x方向上相交，在点一定在线的左边
        if max([xB1,xB2])<xp
            continue %所以点在线右侧的情况无需计算
        end
        %判断是否在水平的边线上
        if yB1==yp && yB2==yp && ( min([xB1,xB2])<=xp && max([xB1,xB2])>=xp)
            IsOnBD(kp)=true;%如果点在水平线段上，则证明点在边缘
            break %停止循环
        end
        %判断是否是某个顶点
        if (xp==xB1 && yp==yB1) || (xp==xB2 && yp==yB2) 
            IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
            break
        end
        %如果射线穿过这个边，则y值一定介于这个边的两个y值中间
        if (yB1<=yp && yp<yB2) || (yB2<=yp && yp<yB1) 
            %如果在+x方向上相交，则交点一定在xp的右边
            yc=yp;
            xc=xB1+(xB2-xB1)/(yB2-yB1)*(yc-yB1);%计算射线与边的交点(xc,yc)
            if (xc-xp)>4*eps %由于计算会导致xc有一定的误差，所以保守估算为4*eps
                NCross=NCross+1;%证明的确相交，交点+1
            end
            %再次判断是否在边线上
            if abs(xc-xp)<=4*eps && abs(yc-yp)<=4*eps %这里因为也涉及到xc，所以也设置了一个误差带
                IsOnBD(kp)=true;%如果交点xc就是点xp，则证明点在线上
                break
            end
        end
        
    end
    %根据相交点数的奇偶性判断是否在多边形内
    if ~IsOnBD(kp) && mod(NCross,2)
        IsInPoly(kp)=true;%如果是奇数，则证明在多边形内
    end
end
end

注: ここでは、境界内の点に対する IsInPoly と、ポリゴンの境界上の点に対する IsOnBD の 2 つの結果を示します。マージする必要がある場合は、or(IsInPoly, IsOnBD) を使用して結果をマージできます。

計算結果は次のとおりです。
画像の説明を追加してください

2 巻数

周囲数法は交差数法と似ており、どちらも光線を導き出します。ただし、巻き数は特定の交点を計算するのではなく、交差する線分が光線を上向きに通過するか、下向きに通過するかを判断します。

画像の説明を追加してください
例として、前の章の図を使用してみましょう。しかし、ここでは線分に方向が与えられています。光線を上方向に進む場合 (線分の左側の点)、折り返し番号は +1 であり、光線を下方向に進む場合 (線分の右側を指す)、折り返し番号は - であると定義します。 1. 最後に、巻線の数が追加されます。0 に等しい場合は、点が多角形の外側にあることを示し、0 に等しくない場合は、点が多角形の内側にあることを示します。

このメソッドの Matlab プログラムは次のとおりです。

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
%BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];

[IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly2(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly+2*IsOnBD,'Marker','.')
%如果考虑边界情况，则把两个结果合并
%IsInPoly=or(IsInPoly,IsOnBD);

function [IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly2(BD,xy2)
%输出逻辑索引（IsInPoly表示在内部，IsOnBD表示在多边形边界上）
%BD是多边形边界，存在顺序，两列。xy2是点的坐标，两列。
%方法2 winding number 环绕数法
%将边界收尾相接
if (BD(1,1)~=BD(end,1)) || (BD(1,2)~=BD(end,2))
    NB=size(BD,1);
    BD2=[BD;BD(1,:)];
else %给出的边界已经收尾相接
    NB=size(BD,1)-1;
    BD2=BD;
end
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
NB=size(BD2,1)-1;
NP=size(xy2,1);

IsInPoly=false(NP,1);%true(NP,1);%false(NP,1);
IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD(:,1));
max_X_BD=max(BD(:,1));
min_Y_BD=min(BD(:,2));
max_Y_BD=max(BD(:,2));
%做+x方向的射线，来判定环绕数
for kp=1:NP
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        continue
    end
    %循环每一条边
    NWinding=0;%初始化环绕数
    for kB=1:NB
        xB1=BD2(kB,1);xB2=BD2(kB+1,1);
        yB1=BD2(kB,2);yB2=BD2(kB+1,2);
        %如果在+x方向上相交，在点一定在线的左边
        if max([xB1,xB2])<xp
            continue %所以点在线右侧的情况无需计算
        end
        %判断是否在水平的边线上
        if yB1==yp && yB2==yp && ( min([xB1,xB2])<=xp && max([xB1,xB2])>=xp)
            IsOnBD(kp)=true;%如果点在水平线段上，则证明点在边缘
            break
        end
        %判断是否是某个顶点
        if (xp==xB1 && yp==yB1) || (xp==xB2 && yp==yB2) 
            IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
            break
        end
        %如果射线穿过这个边，则y值一定介于这个边的两个y值中间
        if (yB1<=yp && yp<yB2) || (yB2<=yp && yp<yB1) 
            %如果在+x方向上相交，则开始判定点在向量的左边还是右边（向量的左右，不是前面整个几何意义的左右）
            if yB2>yB1 %这个边的方向向上
                CrossP=(xB2-xB1)*(yp-yB1)-(xp-xB1)*(yB2-yB1);%计算向量差积，判定点在向量左右
                if CrossP>0 %点在向量左侧
                    NWinding=NWinding+1;
                end
            elseif yB2<yB1 %这个边的方向向下
                CrossP=(xB2-xB1)*(yp-yB1)-(xp-xB1)*(yB2-yB1);%计算向量差积，判定点在向量左右
                if CrossP<0 %点在向量右侧
                    NWinding=NWinding-1;
                end
            else %这个边水平，不计入相交情况
                CrossP=-1;
            end
            %再次判断是否在边线上
            if abs(CrossP)<=4*eps %理论上CrossP==0是在边线上，但这里因为涉及到误差计算，所以加了一个4eps。
                IsOnBD(kp)=true;
                %break
            end
        end
        
    end
    %如果NWinding不是0，则证明在多边形内
    if ~IsOnBD(kp) && NWinding
        IsInPoly(kp)=true;
    end
end

end

この方法の利点は、自己交差グラフの場合、折り返し数法により重複領域を区別できることです。例えば、囲み数が２と規定されている場合、レイ法を用いるとその点はグラフ内にないと判断されてしまうが、囲み数法ではこの領域を区別することができる。
(折り返し数が偶数の場合、点はグラフの外側にあり、折り返し数が奇数の場合、点はグラフの内側にあり、折り返し数法と光線交差法は同等です。)

たとえば、次の図は、自己交差グラフで交差法とサラウンドナンバー法を同時に使用した場合に、重なり部分がどのように処理されるかを示しています。通常のグラフィックスは自己交差として表示されませんが、自己交差の要求が比較的高い場合は、必要なアルゴリズムを選択できます。
画像の説明を追加してください
もちろん、サラウンドナンバー法では特定の交点を計算する必要がないため、除算の使用も回避されます。割り算にも敏感な場合は、サラウンドナンバー方式を試してみることができます。

3アングル法（コーナー法）

3.1 角度の加算方法

この方法は理解しやすいです。つまり、点がグラフの内側にある場合、すべての光線の角度を合計すると 360° に等しくなります。
画像の説明を追加してください
ただし、グラフが凹型多角形の場合、この方法では正と負の角度も定義する必要があります。上図に示すように、同じ方向に増加する角度を正、この方向に急激に反転する角度を負と定義します。具体的な決定方法はベクトルの外積により決定される。

公司公式文：
θ = ∑ ω i = ∑ 1 n − 1 acos ( v 1 ⃗ ⋅ v 2 ⃗ ∥ v 1 ⃗ ∥ ∥ v 2 ⃗ ∥ ) ∗sign ( v 1 ⃗ × v 2 ⃗ ) \theta=\ sum{\omega_i}=\sum_{1}^{n-1}{acos(\frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\left \| \vec{v_1}\right \| \left \| \vec{v_2}\right \|} ) *sign(\vec{v_1}×\vec{v_2})}私=∑おお私は=1∑n − 1アコス（_ _ _∥v1 ​∥∥v2 ​∥v1 ​⋅v2 ​​)∗サイン（_ _ _v1 ​×v2 ​)

ここで、v1 と v2 は、点 p から線分の両端までの 2 本の光線です。
基本的な原理と結果はサラウンドナンバー法と同じですが、acos の計算を伴うため、通常は速度が比較的遅くなります。高速化する方法については、次のセクションの改善方法で説明します。

具体的な手順は以下の通りです。

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
%BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];
%xy2=[0.5,2];

[IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly3(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly+2*IsOnBD,'Marker','.')

function [IsInPoly,IsOnBD]=IfInPoly3(BD,xy2)
%方法3 计算角度法
%将边界收尾相接
if (BD(1,1)~=BD(end,1)) || (BD(1,2)~=BD(end,2))
    NB=size(BD,1);
    BD2=[BD;BD(1,:)];
else %给出的边界已经收尾相接
    NB=size(BD,1)-1;
    BD2=BD;
end
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
NB=size(BD2,1)-1;
NP=size(xy2,1);

IsInPoly=false(NP,1);%true(NP,1);%false(NP,1);
IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD(:,1));
max_X_BD=max(BD(:,1));
min_Y_BD=min(BD(:,2));
max_Y_BD=max(BD(:,2));
%做+x方向的射线，来判定环绕数
for kp=1:NP
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        continue
    end
    %判断是否是某个顶点
    if any(and(xp==BD2(:,1),yp==BD2(:,2)))
        %IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
        IsOnBD(kp)=true;
        continue
    end
    %循环每一条边
    AngleSum=0;%初始化环绕数
    for kB=1:NB

        xB1=BD2(kB,1);xB2=BD2(kB+1,1);
        yB1=BD2(kB,2);yB2=BD2(kB+1,2);
        v1=[xB1-xp,yB1-yp];v2=[xB2-xp,yB2-yp];
        CosAngle=dot(v1,v2)/norm(v1)/norm(v2);
        if abs(CosAngle+1)<4*eps
            IsOnBD(kp)=true;
            break
        end
        Sign=sign(det([v1(1),v2(1);v1(2),v2(2)]));
        AngleSum=acos(CosAngle)*Sign+AngleSum;
        %AngleList(kB)=acos(CosAngle)*Sign/pi*180;
    end
    if abs(AngleSum)/2/pi>(1-1e-5)
        IsInPoly(kp)=true;
    end
end
IsInPoly=and(IsInPoly,~IsOnBD);%对于那些又在边线上又边线内的，判定为在边线上。

end

3.2 改良された角度メソッド (MATLAB には inpolygon 関数メソッドが付属しています)

Matlab には、点が多角形内にあるかどうかを判断する inpolygon() 関数が付属しています。

ここでは特に角度を計算するのではなく、光線 x と y の関係を使用して大まかに判断します。まず、点をエッジの頂点に接続して、一連の光線を形成します。光線の方向を右上↗、左上↖、左下↙、右下↘の4象限に分割し、それぞれ0、1、2、3の4つの数字を割り当てます。そして、これらの数値の変化に基づいて最終的な角度を判断します。

具体的な方法については、MATLAB 関数 inpolygon の具体的なコードを参照していただくか、論文「任意の多角形に対する点の多角形問題」を参照してください。ここでは醜さを見せないで自分で再編集します。

具体的な利用方法は以下の通りです

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
%BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];

%方法6 matlab自带方法
[IsInPoly,IsOnBD]=inpolygon(xy2(:,1),xy2(:,2),BD(:,1),BD(:,2));

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly+2*IsOnBD,'Marker','.')

私は 2019b バージョンを使用していますが、確認されていないサイドライン ポイントがいくつかあります。おそらくエラーが導入されていないためです。しかし、それは速く走ります。
画像の説明を追加してください

4 外積法（凸多角形のみ）

外積法の考え方は角度法から来ています。凸多角形の場合、点が多角形内にある場合は、その点を多角形の各頂点に接続して一連のベクトルを形成します。これらのベクトル間の角度は鋭角でなければなりません。
画像の説明を追加してください
たとえば、上の左の図では、P1 と P2 の外積は正であり、P2 と P3 の外積も正であり、同様に、P3 と P4、P4 と P5、P5 と P1 もすべて正です。しかし、右側の図では、P5 と P1 の外積は負の値であり、点が多角形の外側にあることを示しています。

コードは以下のように表示されます:

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
%BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];
%xy2=[0.8,0.8];

IsInPoly=IfInPoly4(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
%scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly+2*IsOnBD,'Marker','.')
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly,'Marker','.')

function IsInPoly=IfInPoly4(BD,xy2)
%方法4 计算叉积法
%将边界收尾相接
if (BD(1,1)~=BD(end,1)) || (BD(1,2)~=BD(end,2))
    NB=size(BD,1);
    BD2=[BD;BD(1,:)];
else %给出的边界已经收尾相接
    NB=size(BD,1)-1;
    BD2=BD;
end
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
NB=size(BD2,1)-1;
NP=size(xy2,1);

IsInPoly=false(NP,1);%true(NP,1);%false(NP,1);
IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD(:,1));
max_X_BD=max(BD(:,1));
min_Y_BD=min(BD(:,2));
max_Y_BD=max(BD(:,2));
%做+x方向的射线，来判定环绕数
for kp=1:NP
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        continue
    end
    %判断是否是某个顶点
    if any(and(xp==BD2(:,1),yp==BD2(:,2)))
        %IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
        IsInPoly(kp)=true;
        continue
    end
    %循环每一条边
    ArrowDir=zeros(NB,1);%初始化叉积方向
    for kB=1:NB
        xB1=BD2(kB,1);xB2=BD2(kB+1,1);
        yB1=BD2(kB,2);yB2=BD2(kB+1,2);
        v1=[xB1-xp,yB1-yp,0];v2=[xB2-xp,yB2-yp,0];
        CrossV=cross(v1,v2);
        ArrowDir(kB)=CrossV(3);
    end
    %根据最大角度和最小角度之差
    if all(ArrowDir>=0) || all(ArrowDir<=0)
        IsInPoly(kp)=true;
    end
end

end

結果は次のとおりです。
画像の説明を追加してください
凸多角形の場合、このアルゴリズムでも問題がないことがわかります。ただし、凹型ポリゴンの場合、この方法では間違った結果が生成されます。したがって、この方法を使用する場合は、凸多角形であるかどうかに注意する必要があります。

5グリッド法

グリッド法はその名のとおり、多角形の形状が複雑すぎて単純に判断できないためです。次に、まず多角形の内側に多くのグリッドを描画し、次に点がグリッド内にあるかどうかを順番に判断します。

長方形グリッドの利点は判定速度が速いことですが、斜辺の判定が複雑になります。長方形の一部を多角形の内側に配置し、一部を多角形の外側に配置することができます。

ここでは三角メッシュで簡易判定を行います。1 つ目は三角形を分割することで、ここでは matlab に付属の delaunayTriangulation() 関数を使用します。
点が三角形内にあるかどうかは、2 つのベクトルを使用して 2 次方程式を解くことで判断できます。この点の位置は、a u+b v
画像の説明を追加してください
によって決定できます。a、b、および a+b がすべて 0 と 1 の間にある場合、点は三角形内にある必要があります。

具体的な手順は以下の通りです。

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
%BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];

IsInPoly=IfInPoly5(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly,'Marker','.')


function IsInPoly=IfInPoly5(BD,xy2)
%方法5 三角形网格剖分法
%如果边界收尾相接，则取消
if (BD(1,1)==BD(end,1)) && (BD(1,2)==BD(end,2))
    BD2=BD(1:end-1,:);
else %给出的边界已经收尾相接
    BD2=BD;
end
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
NB=size(BD2,1);
NP=size(xy2,1);

IsInPoly=false(NP,1);%true(NP,1);%false(NP,1);
%IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD2(:,1));
max_X_BD=max(BD2(:,1));
min_Y_BD=min(BD2(:,2));
max_Y_BD=max(BD2(:,2));

%按照边缘三角剖分
C=(1:NB)';
C=[C,[(2:NB)';1]];
DT = delaunayTriangulation(BD2,C);
%剔除落在外面的三角形
IO = isInterior(DT);
CL=DT.ConnectivityList;
CL(~IO,:)=[];
BD2=DT.Points;%点有可能会被网格划分所更新，所以这里重新加载一下
NB=size(BD2,1);

BDx=BD2(:,1);
BDy=BD2(:,2);
%triplot(CL,BDx,BDy)
%得到每个三角形的坐标
TRI_X=BDx(CL);
TRI_Y=BDy(CL);
NT=size(CL,1);
%计算每个三角形的范围
max_TRI_X=max(TRI_X,[],2);
min_TRI_X=min(TRI_X,[],2);
max_TRI_Y=max(TRI_Y,[],2);
min_TRI_Y=min(TRI_Y,[],2);
%计算每个三角形的向量
V1_Sum=[TRI_X(:,2)-TRI_X(:,1),TRI_Y(:,2)-TRI_Y(:,1)];
V2_Sum=[TRI_X(:,3)-TRI_X(:,1),TRI_Y(:,3)-TRI_Y(:,1)];
%开始循环判断
for kp=1:NP
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        continue
    end
    %判断是否是某个顶点
    if any(and(xp==BD2(:,1),yp==BD2(:,2)))
        %IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
        IsInPoly(kp)=true;
        continue
    end
    %循环每一三角形
    for kT=1:NT
        if xp<min_TRI_X(kT) || xp>max_TRI_X(kT) || yp<min_TRI_Y(kT) || yp>max_TRI_Y(kT)
            continue %如果超出三角形范围，则直接跳过
        end
        %计算是否在三角形内
        V1=V1_Sum(kT,:);
        V2=V2_Sum(kT,:);
        A=[V1',V2'];
        B=[xp-TRI_X(kT,1);yp-TRI_Y(kT,1)];
        u12=A\B;
        if max(u12)<=1 && min(u12)>=0 && sum(u12)<=1
            IsInPoly(kp)=true;
            break
        end
    end
end
end

メッシュ分割結果と最終的なパターンは以下のとおりです。
画像の説明を追加してください

6 二分法 (O(logn) アルゴリズム)

多角形の辺の数が非常に多い場合、前の方法で計算すると、複雑さは O(n) レベルになり、ループされる辺の数はグラフに比例します。(グラフィックスが比較的単純で最適化が優れている場合は、レイ法やサラウンドナンバー法では循環できないエッジが多く、それほど遅くならないはずだと感じますが)。

次に、徐々に範囲を狭めて、点が位置する領域を見つけるのが二分法の考え方です。アルゴリズムの図は次のとおりです。
画像の説明を追加してください
まず頂点を取得し、次に他の頂点への光線を作成します。点が多角形内にある場合、点はこの角度範囲内にある必要があります。その後、徐々に範囲を狭めていき、最終的な点の位置を決定します。
後は、第 5 章の点が三角形の内側にあるかどうかを判断する方法を使用して、この点がこの三角形の内側にあるかどうかを判断できます。

具体的な手順は以下の通りです。

clear
clc
close all
%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
%BD=[0,0;0,-1;1,0;2,-1;2,0;2,1;2,2;1,2;1,1;0,1];%凹多边形
%BD=[0,-1;0,-2;1,-1;2,-2;2,-1;2,0;2,3;-1,3;-1,1;...
%    3,1;3,1.5;0,1.5;0,2.5;1,2.5;1,0;0,0];%凹多边形，而且自相交
BD=[0,1;-1,0;-1,-1;0,-1;1,-1;1,0];%凸多边形
BD=[2.5*cos(0.01:0.01:2*pi)',2*sin(0.01:0.01:2*pi)'];
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
xy2=[X(:),Y(:)];

IsInPoly=IfInPoly7(BD,xy2);

figure()
hold on
plot(BD(:,1),BD(:,2))
scatter(xy2(:,1),xy2(:,2),24,IsInPoly,'Marker','.')

function IsInPoly=IfInPoly7(BD,xy2)
%方法7 二分法
NP=size(xy2,1);
BD2=BD;
%1初始化输入
%删除边界中相邻重复的点
IsSame=and(BD2(1:end-1,1)==BD2(2:end,1),BD2(1:end-1,2)==BD2(2:end,2));
BD2([IsSame;false],:)=[];
BD=BD2;
%将边界收尾相接
if (BD(1,1)~=BD(end,1)) || (BD(1,2)~=BD(end,2))
    BD2=[BD;BD(1,:)];
else %给出的边界已经收尾相接
    BD2=BD;
end
%删除三点共线情况的点
Is3Line=false(size(BD2,1)-1,1);
for k=2:size(BD2,1)-1
    if det([ BD2(k-1,:)-BD2(k,:) ; BD2(k+1,:)-BD2(k,:) ])==0
        Is3Line(k)=true;%如果三点共线，则叉积等于0
    end
end
BD2([Is3Line;true],:)=[];%删除三点共线的那些点
if det([ BD2(end,:)-BD2(1,:) ; BD2(2,:)-BD2(1,:) ])==0
    BD2(1,:)=[];%刚才循环没有判断第一个点，重新判断一下
end
NB=size(BD2,1);
%如果边的方向是顺时针方向，则变成逆时针排序方向
xy0=BD2(1,:);
v1_t=BD2(2,:)-xy0;
v2_t=BD2(NB,:)-xy0;
if det([v1_t;v2_t])<eps
    BD2=flipud(BD2);%小于0，说明给出的点是顺时针排序的
end

IsInPoly=false(NP,1);
IsOnBD=false(NP,1);%是否在边线上
%判断整个边线的大概范围
min_X_BD=min(BD(:,1));
max_X_BD=max(BD(:,1));
min_Y_BD=min(BD(:,2));
max_Y_BD=max(BD(:,2));
%2确定起始边和终止边
%以第一个点作为射线基准，计算出所有点的射线
vSum=BD2(2:end,:)-ones(NB-1,1)*BD2(1,:);
Nv=size(vSum,1);
for kp=1:NP
    %3优化，减少计算数量
    %如果这个点的xy超过整个边线的xy，则肯定不在边线内
    xy_k=xy2(kp,:);
    xp=xy_k(1);
    yp=xy_k(2);
    if xp<min_X_BD || xp>max_X_BD || yp<min_Y_BD || yp>max_Y_BD
        continue
    end
    %判断是否是某个顶点
    if any(and(xp==BD2(:,1),yp==BD2(:,2)))
        %IsOnBD(kp)=true;%如果点是某个边缘顶点，则证明点在边缘
        IsInPoly(kp)=true;
        continue
    end
    %判断是否在两端射线范围内
    v0_t=xy_k-BD2(1,:);
    v1_t=vSum(1,:);
    v2_t=vSum(Nv,:);
    if det([v1_t;v0_t])>=0 && det([v0_t;v2_t])>=0
        %如果在两个夹角范围内，则开始后续的二分法循环
        n1=1;
        n2=Nv;
    else
        continue
    end
    %4开始用二分法判断是否在区间内
    while n2-n1>1 %当区间大于1的时候，继续二分
        v1_t=vSum(n1,:);
        v2_t=vSum(n2,:);
        n3=fix((n1+n2)/2);
        v3_t=vSum(n3,:);
        
        if det([v1_t;v0_t])>=0 && det([v0_t;v3_t])>=0
            %在第一个区间
            n1=n1;
            n2=n3;
        else %在第二个区间
            n1=n3;
            n2=n2;
        end
    end
    %5二分法结束后，确定该点是否在两个向量所围成的三角形中,
    v1_t=vSum(n1,:);
    v2_t=vSum(n2,:);
    A=[v1_t',v2_t'];
    B=[xp-BD2(1,1);yp-BD2(1,2)];
    u12=A\B;
    if max(u12)<=1 && min(u12)>=0 && sum(u12)<=1
        IsInPoly(kp)=true;%如果点在这个三角形内，则证明点在多边形内
    end
end
end

最終的な結果は次のとおりです。
画像の説明を追加してください

7 複数のリージョン間

複数の領域間の関係が含まれる場合は、論理演算子の積演算子と差分演算を使用して、選択した領域を段階的に分割できます。

たとえば、次の図は、2 つのグラフィックスが交差した後の各領域抽出の結果を示しています。
画像の説明を追加してください
コードは次のとおりです。

%多边形定义（连线必须按照首尾相接的顺序）
BD1=[2*cos(0.01:0.01:2*pi)'-1,2*sin(0.01:0.01:2*pi)'];
BD2=[2*cos(0.01:0.01:2*pi)'+1,2*sin(0.01:0.01:2*pi)'];
%要判断的点
[X,Y]=meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);
X=X+randn(size(X))*0.05;
Y=Y+randn(size(Y))*0.05;
xy2=[X(:),Y(:)];

%判断点是否在图形内
IsInPoly1=inpolygon(xy2(:,1),xy2(:,2),BD1(:,1),BD1(:,2));
IsInPoly2=inpolygon(xy2(:,1),xy2(:,2),BD2(:,1),BD2(:,2));

%交集
Area1=and(IsInPoly1,IsInPoly2);
Area2=and(IsInPoly1,~IsInPoly2);
Area3=and(~IsInPoly1,IsInPoly2);
Area4=and(~IsInPoly1,~IsInPoly2);

figure()
hold on
scatter(xy2(Area1,1),xy2(Area1,2),24,1*ones(sum(Area1),1),'Marker','.')
scatter(xy2(Area2,1),xy2(Area2,2),24,2*ones(sum(Area2),1),'Marker','.')
scatter(xy2(Area3,1),xy2(Area3,2),24,3*ones(sum(Area3),1),'Marker','.')
scatter(xy2(Area4,1),xy2(Area4,2),24,4*ones(sum(Area4),1),'Marker','.')
colormap(lines(4))

おすすめ

転載: blog.csdn.net/weixin_42943114/article/details/124645273
おすすめ
中国人プログラマーの「35歳の呪い」
Lanya CorelDRAW プラグイン 2024.5.1 国際労働者の日バージョン、無料ダウンロード
ランキング
ループコントローラ
スピーカーの分類（スピーカーDiarisation）
雑音除去空気とフロートを除去するための統計的フィルタリング方法を使用して
Spring Cloudプロジェクトの構築（5）
Echarts去掉图形后面的网格线
【レジャー・楽しみ】C言語でクリスマスツリーを描く方法
ゲームが反映するように、後に＃589（本部2）ラウンドCodeforces
アレイの重複排除について知っているソリューションはいくつありますか？
NetBackupの証明書の有効期限は-nBuエラー8506に近づきます
Dockerコンテナの起動パラメータを表示する
アーカイブ
もっと
2024-05-04(18)
2024-05-03(8)
2024-05-02(0)
2024-05-01(4)
2024-04-30(35)
2024-04-29(5)
2024-04-28(12)
2024-04-27(29)
2024-04-26(22)
2024-04-25(31)

コードワールド

© 2018 codetd.com