多次元ラテンハイパーキューブの設計と最適化

1. はじめに

多次元ラテンハイパーキューブの設計と最適化

2. ソフトウェア環境

2.1 マットラボ

3. 主な工程

3.1 ラテン超立方体設計

ラテン超立方体計画は、サンプル ポイントが複数の変数のさまざまなレベルで均等に分散されるようにするための実験計画と最適化で使用される方法です。その基本的な考え方は、サンプル空間を均一なサブ領域に分割し、各サブ領域内のサンプル ポイントを選択することです。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 生成二维拉丁超立方设计
design = lhsdesign(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Latin Hypercube Design (2D)');

3.2 確率的最適ラテン超立方体計画 ROLHD

Randomized Optimization of Latin Hypercube Design (ROLHD) は、Latin Hypercube Design を最適化するための方法です。ランダム性と確率的最適化アルゴリズムを導入してサンプル点の均一性と離散性を高めることにより、元のラテン超立方体設計を改善します。

1 ROLHD 手法の基本的な考え方は次のとおりです。

2 初期のラテン超立方体設計を生成します。

3 初期設計は、確率的最適化アルゴリズムを使用して改善されます。

4 最適化の反復ごとに、現在のデザインに対してランダムな摂動または最適化操作が実行されます。

5 一定の評価指標（最大距離と最小距離、分散など）に従って新しい設計の品質を評価します。

6 新しい設計が現在の設計よりも優れている場合は、新しい設計を現在の最適な設計として受け入れます。そうでない場合は、現在の設計を維持します。

指定された反復回数に達するか、停止条件が満たされるまで、手順 3 ～ 5 を繰り返します。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 迭代改进型拉丁超立方设计 (ROLHD)
numIterations = 100; % 迭代次数
bestDesign = lhsdesign(numSamples, 2); % 初始的拉丁超立方设计
bestCriterion = computeCriterion(bestDesign); % 计算初始设计的准则值

for iteration = 1:numIterations
    % 生成随机变换
    transformedDesign = applyRandomTransform(bestDesign);
    
    % 计算变换后的设计的准则值
    transformedCriterion = computeCriterion(transformedDesign);
    
    % 比较新旧设计的准则值，更新当前最优设计
    if transformedCriterion < bestCriterion
        bestDesign = transformedDesign;
        bestCriterion = transformedCriterion;
    end
end

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = bestDesign(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = bestDesign(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design');

% 计算设计的准则值（示例中使用随机值作为准则值，实际应根据具体问题定义准则）
function criterion = computeCriterion(design)
    criterion = rand(); % 使用随机值作为准则值，实际应根据具体问题定义准则
end

% 应用随机变换（示例中使用随机排序作为变换，实际应根据具体问题定义变换）
function transformedDesign = applyRandomTransform(design)
    transformedDesign = design(randperm(size(design, 1)), :);
end

3.3 最大距離と最小距離の生成の最適化

最大最小距離は、ラテン超立方体設計を改善するための最適化手法です。その目標は、サンプル ポイント間の最小距離を最大化し、サンプル ポイント間の離散性と均一性を高めることです。

以下は、最大および最小距離法の生成最適化の基本的な考え方です。

1 まず、初期のラテン超立方体設計を生成します。

2 初期設計におけるサンプル点間の最小距離を計算します。

3 最適化の反復が実行され、各反復で新しい設計が生成され、最小距離が計算されます。

4 各反復で、各サンプル ポイントに対して、ランダムな再割り当てによって新しい位置が生成されます。これは、2 つのサンプル ポイントの位置を交換するか、サンプル ポイントの範囲内で新しい位置をランダムに選択することによって実行できます。

5 新しい設計のサンプル点間の最小距離を計算します。

6 新しい設計の最小距離が以前の設計よりも優れている場合は、この設計を現在の最適設計として受け入れます。そうでない場合は、以前の設計を維持します。

指定された反復回数に達するか、停止条件が満たされるまで、手順 4 ～ 6 を繰り返します。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 最大最小距离法生成拉丁超立方设计
design = maxminLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Max-Min Distance');

% 最大最小距离法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = maxminLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 进行最大最小距离优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = (col - min(col)) / (max(col) - min(col));
        design(:, i) = col;
    end
end

3.4 最大エントロピーの最適化

最大エントロピー法では、反復最適化を通じて最適なサンプル点レイアウトを見つけ、サンプル点分布の不確実性を最大化します。サンプル ポイントの位置を継続的に調整し、制約を維持することにより、最大エントロピー法はラテン超立方体設計を改善し、サンプル ポイントがより均等に分散され、サンプル空間全体をカバーするようにすることができます。

1 各変数の最小値と最大値など、変数の範囲と制約を決定します。

2 初期のラテン超立方体設計を生成します。

3 初期設計のエントロピーを現在の最大エントロピーとして計算します。

4 最適化の反復が実行され、各反復で新しい設計が生成され、そのエントロピーが計算されます。

5 各反復で、各サンプル ポイントに対して、ランダムな再割り当てによって新しい位置が生成されます。これは、2 つのサンプル ポイントの位置を交換するか、サンプル ポイントの範囲内で新しい位置をランダムに選択することによって実行できます。

6 制約に従って新しい設計のサンプル ポイントの位置を調整し、変数の範囲と制約に確実に準拠するようにします。

7 新しい設計のエントロピーを計算します。

8 新しい設計のエントロピーが現在の最大エントロピーよりも大きい場合は、新しい設計を現在の最適な設計として受け入れます。そうでない場合は、以前の設計を維持します。

9 指定された反復回数に達するか、停止条件が満たされるまで、手順 4 ～ 8 を繰り返します。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 最大熵法生成拉丁超立方设计
design = maxEntropyLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Maximum Entropy');

% 最大熵法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = maxEntropyLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 进行最大熵法优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = -log(1 - col);
        col = (col - min(col)) / (max(col) - min(col));
        design(:, i) = col;
    end
end

3.5 シミュレーテッドアニーリングアルゴリズムの最適化

シミュレーテッド アニーリング アルゴリズムの反復最適化プロセスを通じて、ラテン ハイパーキューブ設計の品質を徐々に向上させることができます。温度が低下すると、アルゴリズムは差が小さい解を受け入れる傾向があり、それによって徐々により良い設計に収束します。
1 初期解の初期化: 現在の解として初期ラテン ハイパーキューブ設計を生成します。

2. 初期温度とアニーリング戦略を設定します。初期温度とアニーリング戦略を決定します。たとえば、初期温度は高く、アニーリング プロセス中に温度は徐々に低下します。

3. 反復最適化プロセス: 各反復では、現在の温度に応じて隣接するソリューションが選択されます。隣接する解は、現在の解のサンプル点の位置をランダムに摂動させるか、2 つのサンプル点の位置を交換するなどの最適化操作を実行することによって取得できます。

4 現在の解と隣接する解の差分またはコスト関数を計算します。現在の解と隣接する解の差分またはコスト関数値を計算します。この差は、サンプル ポイント間の距離、線形相関などの尺度になる可能性があります。

5 差分と現在の温度に基づいて差分を受け入れる確率を計算します。差分と現在の温度に基づいて、隣接する解を受け入れる確率を計算します。一般に、差が小さい場合、または現在の温度が高い場合、隣接する解が受け入れられる確率は高くなります。

6 確率に基づいて隣接する解を受け入れるか拒否する: 確率に基づいて隣接する解を受け入れるか拒否します。隣接するソリューションが受け入れられる場合は、それが現在のソリューションになります。そうでない場合は、現在のソリューションを変更しないでください。

７ 温度を下げる：温度の割合を減らす、または反復回数に応じて温度を調整するなど、アニーリング戦略に従って温度を下げる。

停止条件が満たされるまで (最大反復回数に達するか、温度が特定のしきい値を下回るなど)、ステップ 3 ～ 7 を繰り返します。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 模拟退火算法生成优化的拉丁超立方设计
design = simulatedAnnealingLHD(numSamples, 2, rangeX, rangeY);

% 绘制二维图
scatter(design(:,1), design(:,2), 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design using Simulated Annealing');

% 模拟退火算法生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = simulatedAnnealingLHD(numSamples, numVariables, rangeX, rangeY)
    % 初始化设计
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 定义能量函数
    function energy = energyFunction(design)
        % 将设计映射到变量范围
        samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
        samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
        
        % 计算设计的能量（距离的总和）
        distances = pdist([samplesX, samplesY]);
        energy = sum(distances);
    end

    % 进行模拟退火优化
    initialEnergy = energyFunction(design);
    currentDesign = design;
    currentEnergy = initialEnergy;
    
    temperature = 1;
    coolingRate = 0.95;
    
    while temperature > 1e-8
        % 随机选择两个变量进行交换
        i = randi([1, numSamples]);
        j = randi([1, numSamples]);
        
        newDesign = currentDesign;
        newDesign([i j], :) = newDesign([j i], :);
        newEnergy = energyFunction(newDesign);
        
        % 根据 Metropolis 准则接受或拒绝新设计
        if newEnergy < currentEnergy
            currentDesign = newDesign;
            currentEnergy = newEnergy;
        else
            acceptanceProbability = exp((currentEnergy - newEnergy) / temperature);
            if rand < acceptanceProbability
                currentDesign = newDesign;
                currentEnergy = newEnergy;
            end
        end
        
        % 降低温度
        temperature = temperature * coolingRate;
    end
    
    % 返回优化后的设计
    design = currentDesign;
end

3.6 線形依存性を低減するための平均最適化

RLCMO) は、ラテン超立方体設計の均一性と相関性を改善するための最適化手法です。その目標は、計画内のサンプル点間の線形相関が可能な限り小さくなるように、ラテン超立方体計画内のサンプル点の位置を調整することにより、より均一な分布を達成することです。
RLCMO の具体的な手順は次のとおりです。

1 まず、初期のラテン超立方体設計を生成します。

2 現在の設計の線形依存性を測定する設計マトリックスの条件数を計算します。

3 最適化の反復を実行します。各反復で新しい設計が生成され、その条件番号が計算されます。

4 各反復で、各サンプル ポイントに対して、ランダムな再割り当てによって新しい位置が生成されます。これは、2 つのサンプル ポイントの位置を交換するか、サンプル ポイントの範囲内で新しい位置をランダムに選択することによって実行できます。

5. 制約に従って新しい設計のサンプル ポイントの位置を調整し、変数の範囲と制約に確実に準拠するようにします。

6 新しい設計の条件番号を計算します。

7 新しい設計の条件番号が現在の条件番号より小さい場合は、新しい設計を現在の最適設計として受け入れ、そうでない場合は、一定の確率に従って新しい設計を受け入れます。

8 指定された反復回数に達するか、停止条件が満たされるまで、手順 3 ～ 7 を繰り返します。

% 设置变量范围和样本数量
rangeX = [0 1]; % X 变量范围
rangeY = [0 1]; % Y 变量范围
numSamples = 20; % 样本数量

% 减小线性相关性的均值优化生成拉丁超立方设计
design = reduceCorrelationLHD(numSamples, 2);

% 将设计映射到指定的变量范围
samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);

% 绘制二维图
scatter(samplesX, samplesY, 'filled');
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Optimized Latin Hypercube Design with Reduced Correlation');

% 减小线性相关性的均值优化生成拉丁超立方设计函数
function design = reduceCorrelationLHD(numSamples, numVariables)
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 减小线性相关性的均值优化
    for i = 1:numVariables
        col = design(:, i);
        col = col - mean(col);
        design(:, i) = col;
    end
end

3.7 グリーディ戦略の最適化手法

貪欲戦略は、局所最適の選択に基づく最適化手法であり、ラテン ハイパーキューブ設計の最適化に使用できます。この方法では、サンプル ポイントの位置を段階的に選択して調整し、設計の均一性と相関性を最大化します。

貪欲戦略の基本的な考え方は、初期設計から開始し、最適化調整を 1 つずつ行って設計の特性を改善することです。具体的な手順は次のとおりです。
要約すると、距離最小化はラテン超立方体設計を最適化するための一般的な方法であり、ほとんどの場合に満足のいく一様分布結果を生成できます。
1 初期のラテン超立方体設計を生成します。

2 各サンプル ポイントについて、特定のルールに従って調整に最適な位置を選択します。ここで、各場所の長所と短所を測定するための評価指標を定義する必要があり、たとえば、距離指標や相関指標を使用できます。

3 選択した最適な位置について、現在のサンプル ポイントをこの位置に移動し、計画行列を更新します。

4 すべてのサンプル ポイントが最適に調整されるまで、手順 2 ～ 3 を繰り返します。

5 最終的な最適化された設計を評価して、均一性と相関性が改善されているかどうかを確認します。さらに最適化が必要な場合は、手順 2 からやり直すか、他の最適化方法を使用して反復的に改善できます。

% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计函数
function design=lhs(rangeX,rangeY,rangeZ,rangeW,numSamples,iterCount)
% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计
design = greedyOptimizationLHD(numSamples, 4, rangeX, rangeY, rangeZ, rangeW, iterCount);

% 打印优化后的设计样本点
disp(design);
end


% 贪心策略生成优化的拉丁超立方设计函数
function design = greedyOptimizationLHD(numSamples, numVariables, rangeX, rangeY, rangeZ, rangeW, iterCount)
    % 生成初始的拉丁超立方设计
    design = lhsdesign(numSamples, numVariables);
    
    % 将设计映射到变量范围
    samplesX = design(:, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
    samplesY = design(:, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
    samplesZ = design(:, 3) * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
    samplesW = design(:, 4) * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);
    
    % 计算初始设计的适应度
    initialFitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW);
    
    % 迭代改进设计
    for iter = 1:iterCount
        % 随机选择一个样本点
        index = randi(numSamples);

        % 保存上一轮迭代的样本点
        prevX = samplesX(index);
        prevY = samplesY(index);
        prevZ = samplesZ(index);
        prevW = samplesW(index);
        
        % 随机生成新的样本点
        newX = rand * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
        newY = rand * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
        newZ = rand * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
        newW = rand * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);
        
        % 替换选中的样本点
        samplesX(index) = newX;
        samplesY(index) = newY;
        samplesZ(index) = newZ;
        samplesW(index) = newW;
        
        % 计算新设计的适应度
        newFitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW);
        
        % 如果新设计的适应度更好，则接受新设计
        if newFitness > initialFitness
            initialFitness = newFitness;
        else
            % 恢复原来的样本点
            samplesX(index) = design(index, 1) * (rangeX(2) - rangeX(1)) + rangeX(1);
            samplesY(index) = design(index, 2) * (rangeY(2) - rangeY(1)) + rangeY(1);
            samplesZ(index) = design(index, 3) * (rangeZ(2) - rangeZ(1)) + rangeZ(1);
            samplesW(index) = design(index, 4) * (rangeW(2) - rangeW(1)) + rangeW(1);

            samplesX(index) = prevX;
            samplesY(index) = prevY;
            samplesZ(index) = prevZ;
            samplesW(index) = prevW;
        end
    end
    
    % 更新最终的设计,是有每轮更新的,这种是做了归一化处理的
    design(:, 1) = (samplesX - rangeX(1)) / (rangeX(2) - rangeX(1));
    design(:, 2) = (samplesY - rangeY(1)) / (rangeY(2) - rangeY(1));
    design(:, 3) = (samplesZ - rangeZ(1)) / (rangeZ(2) - rangeZ(1));
    design(:, 4) = (samplesW - rangeW(1)) / (rangeW(2) - rangeW(1));

    design(:, 1) = samplesX;
    design(:, 2) = samplesY;
    design(:, 3) = samplesZ;
    design(:, 4) = samplesW;
end

% 计算设计的适应度
function fitness = calculateFitness(samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW)
    % 计算设计的适应度（距离的总和的倒数）
    distances = pdist([samplesX, samplesY, samplesZ, samplesW]);
    fitness = 1 / sum(distances);
end

このコードは、貪欲な戦略生成を使用して、最適化されたラテン ハイパーキューブ設計を実装します。コードの説明と機能は次のとおりです。

rangeX と rangeY は、X 変数と Y 変数の範囲です。
numSamples は生成するサンプルの数です。
design =greedyOptimizationLHD(numSamples, 2, rangeX, rangeY); 関数greedyOptimizationLHDを呼び出して、最適化されたラテン語ハイパーキューブ設計を生成します。
scatter(design(:,1), design(:,2), 'filled'); 結果の設計点を示す 2D プロットを描画します。
greedyOptimizationLHD 関数は、貪欲戦略によって最適化されたラテン ハイパーキューブ設計を生成するプロセスを実装します。
まず、関数 lhsdesign を使用して初期ラテン ハイパーキューブ設計を生成します。
次に、設計を指定された変数範囲にマップします。
次に、初期設計の適合性を計算します。ここで、適合性は距離の合計の逆数として定義されます。
設計を反復的に改善します。反復ごとにサンプル ポイントがランダムに選択され、新しいサンプル ポイントがランダムに生成され、選択されたサンプル ポイントが置き換えられます。新しい計画の適合性が優れている場合は、新しい計画を受け入れます。そうでない場合は、元のサンプル ポイントを復元します。
最後に、最終デザインを更新して戻ります。
CalculateFitness 関数は、設計の適合性を計算します。ここで、適応度は距離の合計の逆数として定義され、距離の最小化はラテン超立方体設計を最適化するための一般的な方法です。
コード内の反復数は 100 に設定されていることに注意してください。これは調整可能なパラメーターであり、特定の状況に応じて調整できます。また、設計した適応度計算方法も必要に応じて変更することが可能です。

はい、このコードでは、適合度の計算はサンプル ポイント間の距離の合計に基づいています。したがって、距離の合計が小さいほど適合度は高くなります。これは、サンプル点の分布がより均一であることを意味します。

サンプル ポイント間の距離の合計を最小限に抑えることで、サンプル ポイントを可変範囲全体に均等に分散させることができます。これはラテン超立方体設計を最適化するための一般的な方法の 1 つであり、ほとんどの場合満足のいく結果が得られます。

サンプル点間の距離が小さい場合、サンプル点は一様な分布に近づきます。これにより、設計空間全体が確実にカバーされ、サンプル ポイント間の冗長性が軽減されます。このような設計により、変数の範囲にわたる潜在的な特徴をより適切に表現したり、実験問題や最適化問題の解空間を探索したりすることが可能になります。

問題のドメインにさまざまな次元でさまざまな範囲があり、それらの範囲が大きく異なる場合は、正規化された設計結果を使用することをお勧めします。正規化により、異なる次元の範囲を [0, 1] の範囲に統一できるため、異なる次元間の変化のスケールが比較的一貫したものになります。

正規化された設計結果を使用すると、次の利点があります。

統一されたスケール: 正規化により、異なるディメンション間のスケールの違いが排除され、比較的一貫した範囲が保証されます。こうすることで、さまざまな次元の効果をより簡単に比較し、比較検討することができます。
再利用性: 正規化された設計結果は、他のモデル、アルゴリズム、または手法とより簡単に統合できます。追加のスケーリングを行わずに、同じ正規化範囲を使用して設計を他のモデルにインポートできます。
解釈可能性: 正規化された設計結果は均一の範囲内にあるため、理解しやすく、解釈しやすくなります。各次元の実際の範囲に関係なく、正規化された値を直接使用できます。
したがって、問題に範囲が異なる複数の次元が含まれる場合は、正規化された設計結果を使用することをお勧めします。これにより、異なる次元間のスケールの違いをより適切に処理できるようになり、その後の分析と適用がより便利になります。