1. 定義

4PCS (Four Point Congruent Set) アルゴリズムは、コンピュータービジョンのマッチングアルゴリズムであり、2 つの 3D 点群で類似したサブセットを見つけるために使用されます。このアルゴリズムの中心的な考え方は、4 つの点を使用して 2 つの 3D 点群間の剛体変換関係を記述することであるため、「4 点マッチングアルゴリズム」と呼ばれます。

具体的には、4PCS アルゴリズムは、2 つの点群内の共通点を見つけることによって、類似したサブセットを見つけます。類似したサブセットが見つかると、アルゴリズムはそれらの間の剛体変換関係を計算し、それらを位置合わせします。このプロセスを繰り返し実行することにより、アルゴリズムはより類似したサブセットを見つけ、それによって点群全体間の対応関係を確立します。

4PCS アルゴリズムは、3D 再構成、ロボットナビゲーション、画像登録などの分野で広く使用されています。計算速度が速く、精度が高く、堅牢性が高いという利点があり、3Dマッチングアルゴリズムの重要な技術の1つとなっています。

2. アルゴリズムの欠点

初期位置に敏感: 4PCS アルゴリズムは適切な初期位置推定を提供する必要があります。そうでない場合、アルゴリズムは局所的な最適解に陥る可能性があります。したがって、アルゴリズムの堅牢性はある程度制限されます。
ノイズに敏感: 点群にノイズが存在すると、4PCS アルゴリズムが誤って一致する可能性があります。これは、ノイズによって共通点の位置が破損し、アルゴリズムが正しい一致を見つけることができなくなる可能性があるためです。
密度の違いに敏感: 2 つの点群の密度が大きく異なる場合、4PCS アルゴリズムでは一致が欠落しているか、誤った一致が存在する可能性があります。これは、密度の差が大きい領域では共通点の数が少なく、アルゴリズムが正しい一致を見つけることができないためです。
複雑さに敏感: 点群の複雑さが増すと、アルゴリズムの計算も複雑になります。これにより、大規模な点群を処理する場合、アルゴリズムの効率が低下する可能性があります。

結論として、4PCS アルゴリズムは 3D 点群マッチングの問題をある程度解決しますが、依然としていくつかの制限と欠点があり、実際のアプリケーションでは考慮して対処する必要があります。

3.4 PCSアルゴリズムのアルゴリズムフロー

2 つの点群 $P$ と $Q$ を入力し、一致するしきい値 $t$ を設定します。
$P$ と $Q$ を前処理して、四分木または幾何学的ハッシュ構造を構築します。
$P$ と $Q$ の各点 $p_i$ と $q_j$ について、それらの間の距離を計算し、距離が $t$ 未満の場合は、$p_i$ と $q_j$ を共通点としてマークします。
$P$ の各点 $p_i$ について、その周囲の一定範囲内にあるすべての共通点を見つけて、それらを 4 つの要素 $(p_i, q_{j_1}, q_{j_2}, q_{j_3 })$ に形成します。
マッチングおよび変換の推定は、すべてのクアドルプルに対して実行され、最適なマッチングおよび変換パラメーターのセットが取得されます。
すべての最良のマッチングおよび変換パラメーターについてマッチング誤差が計算され、誤差が最小のマッチングが最終結果として選択されます。

具体的には、4PCS アルゴリズムには主に 2 つのステージが含まれています。

候補サブセット生成段階: 2 つの入力点群を前処理し、それらの四分木または幾何学的ハッシュ構造を構築します。次に、2 つの点群の各点について、距離が $t$ 未満の共通点をすべて見つけて、それらを 4 つに形成します。最後に、候補サブセットのセットが取得されます。
マッチングおよび変換推定フェーズ: マッチングおよび変換推定は、候補サブセット内の各 4 つ組に対して実行されます。具体的には、4 点群内の各点について、別の点群内の最近傍点を見つけて、変換行列を計算します。次に、2 つの点群を同じ座標系に変換し、それらの誤差を計算します。最後に、誤差が最小の一致が最終結果として選択されます。

4PCS アルゴリズムの効率と精度は両方とも、点群のサイズ、分布、特性などの要因に影響されることに注意してください。実際のアプリケーションでは、特定のシナリオや要件に応じて適切なアルゴリズムとパラメーターを選択し、結果を検証して最適化する必要があります。

4.4 PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムの長所と短所

4PCS アルゴリズムの利点:

4PCS アルゴリズムは高速性と堅牢性を備えており、大規模な点群データを処理する際に良好な効率と精度を維持できます。
4PCS アルゴリズムは、事前に点群データの登録初期化を必要としないため、複雑な登録タスクについては ICP アルゴリズムよりも実装が簡単です。

4PCS アルゴリズムの欠点:

4PCS アルゴリズムは、点群ノイズ、削除、局所的な重複などの問題に敏感であり、登録エラーが発生しやすいです。
4PCS アルゴリズムは、複雑な形状の点群データを処理する場合、多くの場合、より多くのコンピューティングリソースと時間を必要とします。

ICP アルゴリズムの利点:

ICP アルゴリズムは精度と信頼性が高く、位置合わせの問題で良好な結果を得ることができます。
ICP アルゴリズムは、単純な形状の点群データを処理する場合に高速になり、位置合わせ結果がより安定します。

ICP アルゴリズムの欠点:

ICP アルゴリズムは事前に点群データを初期化する必要がありますが、この初期化プロセスはノイズ、局所的な重複、欠落などの問題の影響を受けやすくなります。
複雑な点群データの場合、ICP アルゴリズムは長い計算時間と大量のメモリ空間を必要とすることが多いため、大規模な点群データの処理には適していません。

したがって、4PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムにはそれぞれ長所があり、問題を解決するには、特定のアプリケーションシナリオに応じて適切なアルゴリズムを選択する必要があります。

5.4 PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムの時間計算量

4PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムの時間計算量は、点群データのサイズとアルゴリズムの実装に関連します。一般的な時間計算量は次のとおりです。

4PCS アルゴリズムの時間計算量:

前処理段階の時間計算量は O(NlogN) です。ここで、N は点群データのサイズです。
登録フェーズの時間計算量は O(N^2) です。ここで、N は点群データのサイズです。

ICP アルゴリズムの時間計算量:

前処理段階の時間計算量は O(N) です。ここで、N は点群データのサイズです。
登録フェーズの時間計算量は O(N^2) です。ここで、N は点群データのサイズです。

したがって、4PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムの時間計算量は両方とも 2 次ですが、4PCS アルゴリズムの前処理段階の時間計算量は比較的高く、ICP アルゴリズムの前処理段階の時間計算量は比較的低くなります。実際のアプリケーションでは、特定のシナリオとデータの特性に応じて適切なアルゴリズムを選択する必要があります。

6.4 アルゴリズムステップにおける PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムの違い

前処理段階:

4PCS アルゴリズム: 四分木構造を構築し、点群データを複数の部分空間に分割し、それを使用して最適な一致点を迅速に検索します。
ICP アルゴリズム: ランダムサンプリングコンセンサスアルゴリズム (RANSAC) などの 2 セットの点群データに対して予備的な登録の初期化を実行します。

マッチポイントの選択:

4PCS アルゴリズム: 四分木構造を通じて複数の部分空間で最適な一致点を検索します。
ICP アルゴリズム: 最近傍検索アルゴリズムを通じて点群データ内の最適な一致点を見つけます。

変換の推定:

4PCS アルゴリズム: SVD 法など、4 つの一致点に基づいて変換行列を計算します。
ICP アルゴリズム: 最小二乗法 (LS) や SVD 法など、複数の一致点に基づいて変換行列を計算します。

変換の更新:

4PCS アルゴリズム: 計算された変換行列を点群データ全体に適用し、点群データの位置を更新します。
ICP アルゴリズム: 計算された変換行列をソース点群データに適用し、収束条件が満たされるまでマッチング点の選択、変換推定、変換更新のステップを繰り返します。

要約すると、4PCS アルゴリズムと ICP アルゴリズムは、登録プロセスとアルゴリズムのステップが大きく異なり、点群の登録を実現するために、四分木および最近傍検索アルゴリズム、SVD 法、LS 法などの異なる技術を使用します。問題とシナリオ。

7.4 PCS アルゴリズムのバリエーション

1最先端の4PCSアルゴリズム

1.1 定義

最先端の 4PCS アルゴリズムとは、点群登録の分野で現在最も先進的かつ最良と考えられている 4PCS アルゴリズムを指します。これは、古典的な 4PCS アルゴリズムの改良に基づいており、より効率的で正確な 4 点共平面性検出アルゴリズム、高速検索戦略、および誤差測定方法を導入しており、アルゴリズムの速度と位置合わせ精度が大幅に向上しています。同時に、このアルゴリズムは、局所的な特徴の損失やノイズが発生した場合の点群の登録問題にも対処でき、強力な堅牢性とスケーラビリティを備えています。

実際の応用では、最先端の 4PCS アルゴリズムは、3D 再構成、ロボットナビゲーション、仮想現実、医療画像処理などの分野で広く使用されています。このアルゴリズムの効率性と精度により、このアルゴリズムは点群登録の分野における現在の研究のホットスポットの 1 つとなっており、自動かつインテリジェントな 3D 再構成と応用の実現に重要な技術サポートも提供します。

1.2 最先端の 4PCS アルゴリズムの長所と短所

従来の 4PCS アルゴリズムと比較して、最先端の 4PCS アルゴリズムは速度と精度が大幅に向上しており、次の利点があります。

効率: 最先端の 4PCS アルゴリズムは、より効率的かつ正確な 4 点共平面性検出アルゴリズム、高速検索戦略、および誤差測定方法を導入し、アルゴリズムの実行を高速化します。
高精度: アルゴリズムは、点群登録を実行するときに最適なソリューションを迅速かつ正確に見つけることができるため、点群登録の精度が向上します。
強力な堅牢性: このアルゴリズムは、局所特徴の欠落やノイズなどの条件下で点群登録問題を処理でき、強力な堅牢性を備えています。
スケーラビリティ: このアルゴリズムは大規模な点群登録に拡張可能で、さまざまな点群形状を処理できます。

しかし、最先端の 4PCS アルゴリズムにもいくつかの欠点があります。

一部の複雑な点群形状では、アルゴリズムの精度が低下する可能性があります。
アルゴリズムの実装には、特定の技術的およびアルゴリズムのサポートが必要なため、より多くのコンピューティングリソースと専門知識が必要になる場合があります。

つまり、最先端の 4PCS アルゴリズムは点群登録の分野で高い研究価値と応用価値を持っていますが、特定のアプリケーションシナリオと要件に応じて適切なアルゴリズムを選択する必要があります。

1.3 最先端の 4PCS アルゴリズムの計算量

最先端の 4PCS アルゴリズムの時間計算量は、主に点群のサイズと特徴点の数に依存します。具体的には、アルゴリズムの時間計算量は次のステップに分割できます。

特徴点の抽出: 2 つの点群の場合、マッチングのためにいくつかの主要な特徴点を抽出する必要があります。特徴点抽出の時間計算量は通常 O(n) です。ここで、n は点群内の点の数です。
4 点共平面性検出: このステップは 4PCS アルゴリズムの中核であり、その時間計算量は通常 O(k^4) (k は特徴点の数) です。
反復検索: 4 つの一致点の位置と方向に基づいて、点群内の他の一致する可能性のある点が検索されます。検索の時間計算量は通常 O(n log n) です。ここで、n は点群内の点の数です。
判定誤差：検索された一致点の誤差を測定し、条件を満たしているかどうかを判定します。判定エラーの時間計算量は通常 O(1) です。

上記のステップの時間計算量を組み合わせると、最先端の 4PCS アルゴリズムの全体的な時間計算量は O(nk^4 log n) であることがわかります。ここで、n は点群内の点の数です。、ｋは特徴点の量である。これは、点群のサイズが増加すると、アルゴリズムの実行時間も増加することを意味します。したがって、実際のアプリケーションでは、アルゴリズムの効率とパフォーマンスを向上させるために、特定のシナリオと要件に従ってアルゴリズムを最適化および調整する必要があります。

2. SUPER 4PCSアルゴリズム

2.1 定義

SUPER 4PCS は 4PCS アルゴリズムの改良版であり、主に実行速度、堅牢性、精度の点で元の 4PCS アルゴリズムのいくつかの問題に対して最適化されています。SUPER 4PCSアルゴリズムはマッチング精度と実行速度が向上しており、3次元点群マッチングの分野で広く使用されています。

2.2 メリットとデメリット

SUPER 4PCS アルゴリズムの主な利点は次のとおりです。

実行速度の高速化: SUPER 4PCS アルゴリズムは 4 点の共平面性検出と反復検索で最適化されており、点群内の一致する点をより速く見つけることができます。
より高い堅牢性: SUPER 4PCS アルゴリズムは、より厳密な幾何学的制約を使用するため、点群内の外れ値やノイズに適切に対処でき、マッチングの精度と堅牢性が向上します。
より高いマッチング精度：SUPER 4PCSアルゴリズムはより正確なマッチングポイントを見つけることができるため、マッチング精度が向上します。
強力なスケーラビリティ: SUPER 4PCS アルゴリズムはモジュール設計を採用しており、他のマッチングアルゴリズムと簡単に組み合わせることができ、アルゴリズムのスケーラビリティを向上させることができます。

SUPER 4PCS アルゴリズムの欠点は次のとおりです。

二次時間計算量の問題が依然として存在します。SUPER 4PCS アルゴリズムでは依然として特徴点を結合する必要があるため、特徴点の数が多い場合、二次時間計算量の問題が依然として存在します。
点群データに対する高い要件: SUPER 4PCS アルゴリズムには点群データの品質に対する高い要件があり、ノイズや非剛体変形が多い点群データの場合、マッチング精度に影響を与える可能性があります。

つまり、SUPER 4PCS アルゴリズムは、マッチング精度と実行速度の間で一定のバランスを達成でき、幅広い応用の可能性を備えた効果的な 3D 点群マッチングアルゴリズムです。

4PCSアルゴリズム（学習専用）