02325 「コンピュータ システム アーキテクチャ」の自習問題: 第 6 章、第 7 章、および第 8 章

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  02325 「コンピュータシステムアーキテクチャ」自己検討検討要点リスト

6. アレイプロセッサ

1. 単段相互接続ネットワーク

歴史試験問題：2020.10（PM2I）、2017.04（PM2I）

タイトル説明: 1階層相互接続ネットワークの相互接続機能、ユニット接続。
  

放課後演習 6-4 6-5

  16 個の処理ユニットからなる単一レベルのキューブ相互接続ネットワークを実装します。
(1) あらゆる種類の単一レベルキューブ相互接続ネットワーク関数の一般式を書き留めてください;
(2) 第 3 処理装置が単一レベルキューブ相互接続ネットワークを使用して直接データを転送できる処理装置はどれですか?
(3) シングルレベルのキューブ相互接続ネットワークがシングルレベルの PM2I ネットワークに置き換えられた場合の最初の 2 つの質問の結果。

解：
（1）関数数一般式：
$\begin{array}{l}キューブ\_\_{\_}_{}\left(b_{}{b}_{}{b}_{}{b}_{}\right)=b_{}{b}_{}{b}_{}{\overline{b}}_{}\\ キューブ\_\_{\_}_{}\left(b_{}{b}_{}{b}_{}{b}_{}\right)=b_{}{b}_{}{\overline{b}}_{}{b}_{}\\ キューブ\_\_{\_}_{}\left(b_{}{b}_{}{b}_{}{b}_{}\right)=b_{}{\overline{b}}_{}{b}_{}{b}_{}\\ キューブ\_\_{\_}_{}\left(b_{}{b}_{}{b}_{}{b}_{}\right)={\overline{b}}_{}{b}_{}{b}_{}{b}_{}\end{array}$

(2) 1番、2番、7番、11番。

（3）関数一般：
$\begin{array}{l}午後2\_{}_{+0}\left(j\right)=j+1モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{-}\left(j\right)=j-1モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{+1}\left(j\right)=j+2モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{-}\left(j\right)=j-2モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{+2}\left(j\right)=j+4モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{-}\left(j\right)=j-4モード16\_\_\\ 午後2\_{}_{\pm }\left(j\right)=j\pm 8モード1\end{array}$
 1、2、4、5、7、11、15位。

相互接続ネットワークの概念:
  処理装置間でデータを送信する必要があるが、処理装置の数が多い場合、各装置をペアで直接接続することは不可能であり、コストが高すぎるため、相互接続を使用する必要がある異なる相互接続ネットワーク 異なる相互接続機能に対応して、異なる接続モードを表します。さまざまなネットワークの相互接続機能を次の表に示します。
(1) キューブシングルレベルネットワーク (Cube)
  接続構造は立方体に似ています: 4 つの処理ユニットが 2 次元の立方体 (正方形) に接続され、各ユニットは他の 2 つのユニットに接続され、8 つの処理ユニットが接続されます。 3 次元の立方体 (キューブ) を使用し、各ユニットが他の 3 つのユニットに接続されているなど。
  この質問のように、16 個のユニットは 4 つの 2 進数ビットで表され、各ユニットは他の 4 つのユニットに接続されます。3番(0011)に接続されているユニットは2(0010)、1(0001)、7(0111)、11(1011)です。
(2) PM2I 単段ネットワーク
  PM2Iの意味$プラス\_\_\_-マイナス2\_\_\_\_{}^i$（加减 $2^i$ ) は相互接続関数に対応し、$処理ユニットj$に直接接続できるユニット番号はどれですか
  この質問のように、$i\; の$値の範囲は 0 ～ 3 で、4 ビット、$Ｎ$は処理単位の数に相当する１６であり、ｍｏｄは余りを表す。$i$が 3 の場合、2 つの結果は同じであるため、相互接続関数を記述すると、$2ログ\_{\_}_{}N-1$ . サイズ 3 の場合:
$3\pm 1=2、4$
$3\pm 2=1、5$
$3\pm 4=-1、7\to 15、7$
$3\pm 8=-5、11\to 11、11$
(3) シャッフル スワップとバタフライは基本的に無視され、単純に相互接続関数を書き留めます。

シングルステージネットワーク	インターコネクト機能		$N$ 为处理单元个数 $n=\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{2}N$
立方体	$\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}{\mathrm{e}}_{\mathrm{i}}({\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}\cdots {\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0)={\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}\cdots {\overline{\mathrm{P}}}_{\mathrm{i}}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0$	对应位取反	1 对 $n$
PM2I	$\{\begin{array}{c}{\mathrm{P}\mathrm{M}2}_{+i}(j)=j+2^i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\\ {\mathrm{P}\mathrm{M}2}_{-i}(j)=j-2^i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N\end{array}$	加减 $2^i$	1 对 $2n-1$
混洗交换	$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}({\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-2}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0)={\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-2}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}$	最左位挪到最右边	1 对 1
蝶形	$\mathrm{B}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{y}({\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-2}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_0)={\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-2}\cdots {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}-1}$	最高位最低位互换	1 对 1

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2. 多级立方体网络

历史考题：2021.04、2018.04、2017.10、2016.10

题目描述：互连函数、网络拓扑结构图、控制开关状态。
  

课后习题 6-6

  阵列有 0~7 共 8 个处理单元互连，要求按 (0,5)、(1,4)、(2,7)、(3,6) 配对通信。
（1）写出实现此功能的互连函数的一般式；
（2）画出用三级立方体网络实现互连函数的互连网络拓扑结构图，并标出各控制开关的状态。

解：
（1）$\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}({\mathrm{b}}_2{\mathrm{b}}_1{\mathrm{b}}_0)={\overline{\mathrm{b}}}_2{\mathrm{b}}_1{\overline{\mathrm{b}}}_0$
  把配对通信的二进制位表示写出来就能看出来（只要算一对就行，保险起见都算一算）：
$(0,5)\to (000,101)$
$(1,4)\to (001,100)$
$(2,7)\to (010,111)$
$(3,6)\to (011,110)$

（2）

拓扑结构图画法：
  此图分为两个部分，底部的交换、直连、交换是各控制开关的状态，需要根据题目来确定，其余部分为多级立方体互连网络的结构，这部分是固定的。

  图中 A~L 的矩形框为控制单元，每个控制单元 2 个输入 2 个输出，可以实现的控制方式有 4 种，上播下播通常不考：
（1）直连：输入 (x,y) 输出 (x,y)；
（2）交换：输入 (x,y) 输出 (y,x)；
（3）上播：输入 (x,y) 输出 (x,x)；
（4）下播：输入 (x,y) 输出 (y,y)；

  对于多级立方体网络，每一列控制单元都是二功能交换单元，对应一个等级 $i$，并对应 ${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}}_i$ 互连函数。
  以第 1 列，第 0 级为例，控制单元利用 ${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}}_0$ 实现直连或交换两个功能，对于 ${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}}_0$ 来说 0(000) 对应 1(001)、2(010) 对应 3(011)、4(100) 对应 5(101)、6(110) 对应 7(111)。
  以第 2 列，第 1 级为例，对于 ${\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}}_1$ 来说 0(000) 对应 2(010)、1(001) 对应 3(011)、4(100) 对应 6(110)、5(101) 对应 7(111)。
  图中每个控制单元输入输出的数字是一样的，而每一对数字都是可以用对应等级的互连函数实现连接的，如此一来图中每个单元上的数字都可以先写出，然后把相同的数字连接起来就行了。
  这里的多级立方体网络是采用的级控制，即每一级（列）所有的控制开关只能处于一种状态，要么直连要么交换。题目中控制开关的状态可以由两种方法确定：
（1）根据第一问的互连函数，0、2 位要取反，对应 0、2 级交换，1 级直连；
（2）根据网络拓扑结构图，要想让 0 输入和 5 相连：0 从 A0 输入交换从 A1 输出，从 F1 输入直连从 F1 输出，从 J1 输入交换从 J5 输出，最终连接 5。

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课后习题 6-10

  并行处理机有 16 个处理单元，要实现相当于先 8 组 2 元交换，然后是 1 组 16 元交换，再次是 4 组 4 元交换的交换函数功能。
（1）写出实现此函数最终等效的功能，各处理器间所实现的互连函数的一般式；
（2）画出实现此互连函数的四级立方体互连网络拓扑结构图，标出各级交换开关的状态。

解：
  这里主要搞懂几组几元交换的意思，得到如 6-6 中的配对通信，就很容易了。如 8 组 2 元交换代表 16 个处理单元分成 8 组，每组 2 个单元，每组的单元反向排列。

| 0  1 |  2  3 |  4  5 |  6  7 |  8  9 | 10 11 | 12 13 | 14 15 |		输入
| 1  0 |  3  2 |  5  4 |  7  6 |  9  8 | 11 10 | 13 12 | 15 14 |		8 组  2 元交换
|14 15   12 13   10 11    8  9    6  7    4  5    2  3    0  1 |		1 组 16 元交换
|13 12   15 14 |  9  8   11 10 |  5  4    7  6 |  1  0    3  2 |		4 组  4 元交换

  0(0000) 对应 13(1101)，可得到互连函数 $\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{e}({\mathrm{b}}_3{\mathrm{b}}_2{\mathrm{b}}_1{\mathrm{b}}_0)={\overline{\mathrm{b}}}_3{\overline{\mathrm{b}}}_2{\mathrm{b}}_1{\overline{\mathrm{b}}}_0$，拓扑结构图按同样的画法，先确定每一级的数字对，标上数字后对应连接。交换开关状态直接安装互连函数确定，0、2、3 级为交换，1 级为直连。

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3. 并行存储器无冲突访问

历史考题：2019.10

题目描述：无冲突访问数组元素分布、并行存储器分体数。
  

课后习题 6-14

  在集中式主存的阵列机中，处理单元数为 4，为了使 $4\times 4$ 的二维数组 A 的各元素 $a_{ij}(i=0\sim 3,j=0\sim 3)$ 在行、列、主 / 次对角线上均能实现无冲突访问，请填出数组各元素在存储器分体（分体号从 0 开始）中的分布情况。假设 $a_{00}$ 已放在分体号为 3。体内地址（从 $i+0$ 开始）为 $i+0$ 的位置。

解：
分体数 $M=5=2^{2P}+1$
$P=1$
数组中同一列上两个相邻行的元素其地址错开的体号距离 ${\delta }_1=2^P=2$
数组中同一行中两个相邻列的元素其地址错开的体号距离 ${\delta }_2=1$
数组各元素在存储器分体中的分布情况如下表：

解释：
  无冲突访问就是在访问数组的行、列、主 / 次对角线的元素时没有冲突。需要访问的数据存放在不同的分体中时访问没有冲突，但是多个数据在同一分体中就会产生冲突。假设如下表存储数据，可以看出访问数组每一行、主 / 次对角线的元素没有冲突，但是访问列时每个元素都在一个分体中就会产生冲突，无法并行。

0	1	2	3
$a_{00}$	$a_{01}$	$a_{02}$	$a_{03}$
$a_{10}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$
$a_{20}$	$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$
$a_{30}$	$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$

  题目的目的就是要设计分体的数量和数组元素的存放方式，使得实现无冲突访问。解题步骤为：
（1）确定分体数，分体数为大于 4(数组的行列数、处理单元数) 的质数，也就是 5；
（2）将分体数改写为 $2^{2P}+{\delta }_2=2^{2\times 1}+1$ 的形式；
（3）${\delta }_1=2^P=2$，代表同一列元素的间隔，如 $a_{00}$ 存在 3，$a_{10}$ 要存在 5，因为分体号是 $0\sim 4$，5 就对应到 0；
（4）${\delta }_2=1$，代表同一行元素的间隔，如 $a_{00}$ 存在 3，$a_{01}$ 要存在 4。

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7. 多处理机

1. 霍纳法则

历史考题：2019.10、2019.04、2018.10、2017.04、2015.04

题目描述：画树形流程图，计算级数 $T_P$、机数 $P$、加速比 $S_P$、效率 $E_P$。
  

课后习题 7-6

  由霍纳法则给定的表达式如下：$E=a(b+c(d+e(f+gh)))$，利用减少树高的办法来加速运算，要求：
（1）画出树形流程图；
（2）确定 $T_P$、$P$、$S_P$、$E_P$ 的值。

解：
（1）

（2）$T_P=4,P=3,S_P=7/4,E_P=7/12$

解释：
  原式 $E=a(b+c(d+e(f+gh)))$ 只能从内向外依次计算，一共 7 步，不能并行，也就是只能单处理机处理，此时的树高（级数）为 $T_1=7$。
  将式子改写，通用方法是先完全展开，然后尽可能两两成一对并且提公因式：

$\begin{array}{rl}E& =a(b+c(d+e(f+gh)))\\ & =ab+acd+acef+acegh\\ & =(ab+acd)+(acef+acegh)\\ & =a(b+cd)+ace(f+gh)\\ & =[a(b+cd)]+[(ace)(f+gh)]\end{array}$

  然后按公式画树形图即可，个人感觉从上往下画比较好，顶部为加法，展开两个分支，然后在逐步画各个子项的计算，这样比较容易对齐树的层级。
  注意点：有些情况画法是不唯一的，例如某一项为 $ab(c+d)$，此时可以 $ab$ 和 $c+d$ 并行再相乘分两步，也可以先算 $c+d$ 再依次乘上 $a$ 和 $b$ 分三步。此时需要根据题目的情况来决定，有时按并行的两步来计算并不能减少树高，反而会增加机数（因为只一个分支不一定影响整个树高）。
  级数 $T_P$ ：树高，树含有运算符的层级数量；
  机数 $P$：有多少台处理机在进行并行运算，看每一层有多少个运算符，取最大值；
  加速比 $S_P=T_1/T_P$：单处理机的级数和当前并行加速后的级数的比值；
  效率 $E_P=S_P/P$：加速比除以机数。

2. FORK、JOIN 语句

历史考题：2021.10、2020.10、2020.04、2016.04、2015.10

题目描述：程序用 FORK、JOIN 语句改写，画资源时间图。
  

课后习题 7-8

  若有下述程序：
  $\mathrm{U}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$
  $\mathrm{V}=\mathrm{U}/\mathrm{B}$
  $\mathrm{W}=\mathrm{A}\ast \mathrm{U}$
  $\mathrm{X}=\mathrm{W}-\mathrm{V}$
  $\mathrm{Y}=\mathrm{W}\ast \mathrm{U}$
  $\mathrm{Z}=\mathrm{X}/\mathrm{Y}$
  试用 FORK、JOIN 语句将其改写成可在多处理机上并行执行的程序。假设现有两台处理机，且除法速度最慢，加、减法速度最快，请画出该程序运行时的资源时间图。

解：
（1）改写后的程序为：

							| 语法解释:
10	U = A + B				| 执行语句左边的编号通常就按 10 20 30... 依次增大, 没有严格的要求
	FORK	30				| FORK	30 就代表下面一条语句和 30 号语句并行
20	V = U / B				|
	JOIN 	2				| JOIN	2 就代表有 2 条语句并行
	GOTO	40				| GOTO	40 是因为 20 运行完接下来要运行 40
30	W = A * U				|
	JOIN	2				| 30 下面不用写 GOTO	 40 是因为按顺序它运行完本来就是运行 40
40	FORK	60				| 这里的 FORK 编号是因为前面有 GOTO 要跳到这里来, 而第一条按顺序运行
50	X = W - V				| 没有别的语句要用到它的编号, 就省略了。
	JOIN	2				|
	GOTO	70				| 如果有 2 条以上的语句要并行就是多写几行 FORK, 同时 JOIN 改成对应的数量
60	Y = W * U				| 例如 20 30 40 都并行:
	JOIN	2				| FORK	30
70	Z = X / Y				| FORK	40

  题目给出的程序每一行就是一条指令，通过观察可以分析程序的并行性，得到程序的运行步骤：
（1）① $\mathrm{U}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 执行
（2）② $\mathrm{V}=\mathrm{U}/\mathrm{B}$ 和 ③ $\mathrm{W}=\mathrm{A}\ast \mathrm{U}$ 可并行
（3）④ $\mathrm{X}=\mathrm{W}-\mathrm{V}$ 和 ⑤ $\mathrm{Y}=\mathrm{W}\ast \mathrm{U}$ 可并行
（4）⑥ $\mathrm{Z}=\mathrm{X}/\mathrm{Y}$ 执行

（2）资源时间图

  优化了一下答案的图，很多题目中只说加减法最快，除法最慢，这里直接自己规定加减法为 4，乘法 5，除法 6，FORK、JOIN、GOTO 都是 1。部分题目也会这样规定，定量画出来更直观。
  画图流程和注意事项：
（1）10 号语句，加法占 4 个时间
（2）紧接着 FORK 30，后面按顺序运行 20，并且上面并行 30；
（3）20 和 30 运行完都是接上 JOIN 2 ，JOIN 2 是个关键，它会判断 2 条并行指令是否都运行完，如果没有当前的指令就断开了要等全都运行完，如果已经都运行完了就按当前指令往下运行，如果还有指令没开始运行，就会运行未运行指令。
  有点绕，下面举几个例子：
  这道题里面，30 是乘法，20 是除法，所以 30 后面的 JOIN 2 会发现 20 还没运行完就停住了不会往下运行 40，而 20 的 JOIN 2 发现都运行完了就会进入 GOTO 40；假如是 20 先运行完那么就不会进入 GOTO，而是 30 运行完后自然按顺序运行 40。后面也是如此，因为 50 结束的比 60 快，所以 50 后面的 GOTO 70 就被截断了不运行，等 60 运行完接上 70。
  有的情况是 JOIN 4 是 4 条语句并发，假设是 (10,20,30,40)，但是只有 2 个处理机，那么就是先并行 10 和 20，谁先运行完后面紧跟 30，以此类推。
（4）还有个注意点是 FORK 相关的，假设现在是 3 条语句并发 (10,20,30)，在 3 个处理机上运行，那么运行 10 之前就有 2 个 FORK 语句：FORK 20 和 FORK 30，画图的时候当 FORK 20 一运行完，CPU2 就可以开始执行 20 了，然后 FORK 30 运行完再执行 30 和 10，参考本题的虚线。

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8. 数据流机和归约机

  不考大题。