このコラムは、情報理論とコーディングの核となる知識を知識ポイントごとにまとめたもので、教育や学習の参考として活用できます。マークダウン バージョンは [Github リポジトリ: https://github.com/timerring/information- Theory ] または情報理論に返信するための公開アカウント [AIShareLab] にアーカイブされています。
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BCH符号-巡回符号
特徴：生成多項式 g(x) と最小符号距離との間には密接な関係があり、必要な誤り訂正能力 t に応じて BCH 符号を容易に構築できます。
巡回符号の生成多項式が次の形式である場合:
g ( x ) = LCM [ m 1 ( x ) , m 2 ( x ) , … , m 2 t − 1 ( x ) ] g(x)=\mathrm {LCM} \left[m_{1}(x), m_{2}(x), \ldots, m_{2 t-1}(x)\right]g ( x )=LCM[ m1( x ) 、メートル2( x ) 、…、メートル2t − 1 _( x ) ]
ここで、 t は誤り訂正の数、 $m_{i}(x) $ は縮小 (素数) 多項式、LCM \mathrm{LCM}LCM は最小公倍数をとることを意味し、それによって生成される巡回符号はBCH \mathbf{BCH}BCHコード。コード距離d ≥ 2 t + 1 \boldsymbol{d} \geq 2 \boldsymbol{t}+\mathbf{1}d≥2t_ _+1 . 各コードワードはt \mathrm{t}tランダムな独立したエラー。
BCH \mathbf{BCH}の場合BCH符号n = 2 m − 1 n=2^{m}-1n=2メートル−1、ここでm ≥ 3 m \geq 3メートル≥3、t < m 2 t<\frac{m}{2}t<2メートル, n − k ≤ mt nk \leq mtn−k≤m t の場合、それは元のBCH \mathbf{BCH}BCHコード;
BCH \mathbf{BCH}の場合BCH符号の符号長はn = 2 m − 1 n=2^{m}-1n=2メートル−1因数、非原始BCH \mathbf{BCH}BCHコード。
関連情報：
原始多項式の定義: n 次の多項式 f(x)
(1) f(x) は縮小多項式 (因数分解不可能) -GF(2) です。
(2) f(x) 是( xp + 1 ) \left(x^{p+1}\right)( ×p + 1 )係数、$ p{2}=2{n}-1$
(3) f(x) は $ \left(x^{q+1}\right)$ の因数ではありません、 $ p>q$
BCH \mathrm{BCH}BCHコードのエンコーディング: 多項式ルックアップ テーブルを生成します。
BCH \mathrm{BCH}BCHコードのデコード:
BCH \mathbf{BCH}BCHの復号化には主にピーターソン復号化が採用されており、その考え方は次のとおりです。
- 生成多項式 g(x) の因数を除算式として使用し、受信コード多項式の剰余を計算し、t 個の剰余を求めます。これを部分随伴式と呼びます。
- t 個の部分シンドロームを含む特定の復号多項式を構築します。その根はエラー位置の数です。
- デコード多項式の根を見つけてエラー位置を取得します。
- 間違った位置を修正します。
RSコード
q ベースBCH \mathrm{BCH}BCH符号(n=q-1)の特殊なサブクラスであり、強力な誤り訂正能力を持っています。
RS \mathrm{RS}RS符号のパラメータ：符号長n=q-1、監視ビット数r=2t、tは訂正可能な誤り符号数、最小符号距離d=2t+1\boldsymbol{d}=\ mathbf{2 t }+\mathbf{1}d=2t+1 ; その生成多項式は
g ( x ) = ( x + α ) ( x + α 2 ) … ( x + α 2 t ) g(x)=(x+\alpha)\left(x+\alpha^{2} \right) \ldots\left(x+\alpha^{2 t}\right)g ( x )=( ×+）_( ×+ある2 )…( ×+ある2 t )
、ここでα i \alpha^{i}あるiはガロア体GF ( α m ) \mathbf{GF}\left(\alpha^{m}\right)GF( _m )要素内の。
RS コードの主な利点:
- 多値系誤り訂正符号であるため、多値系変調の場合に特に適しています。
- t q ビットのバイナリ エラー コードを訂正できます。つまり、連続するバイナリ エラー コードは q 個までしか訂正できないため、フェージング チャネルのバースト エラー コードを訂正するのに適しています。
要約する
- 巡回コードの基本概念。
- 巡回コードの生成多項式、およびこの多項式を使用したコードのエンコード
- 生成多項式から体系的な生成行列と監視行列を構築する
- 巡回符号の符号化および復号化回路。
- BCH、RSコード。
参考文献:
- プロアキス、ジョン G.、他。通信システム工学。Vol. 2. ニュージャージー州：プレンティス・ホール、1994年。
- プロアキス、ジョン G.、他。ソリューションマニュアル 通信システムエンジニアリング。Vol. 2. ニュージャージー州：プレンティス・ホール、1994年。
- Zhou Jiongpan、コミュニケーション原則 (第 3 版) [M]、北京: 北京郵電大学出版局、2008 年。
- Fan Changxin、Cao Lina. コミュニケーションの原則 (第 7 版) [M]. 北京: National Defense Industry Press、2012.