この章の最初から、いくつかのグラフアルゴリズムについて順番に説明します。この記事では、まずグラフ伝搬アルゴリズムについて説明します. グラフ伝搬アルゴリズムの正確な定義はありませんが, このタイプのアルゴリズムには非常に明確で統一されたパラダイムがあります. このパラダイムを理解した後, このタイプのアルゴリズムをすぐに習得できます.
グラフ G={V,E} が与えられた場合、V はノードのセットを表し、E はエッジのセットを表し、G が有向グラフの場合、N(V i ) はノードV iの隣接ノードのセットを表します。
ここで、N in (V i）は、 Ｖｉの入力エッジノードのセットを表し、Ｎ ｏｕｔ（Ｖｉ）は、 Ｖ ｉの出力エッジノードのセットを表す。
V iノードの測定指標をR vi (例えば、後述する PageRank 値、ハブ値、オーソリティ値などの指標) とすると、測定指標の更新規則は関数 f であり、グラフ伝播アルゴリズムの一般的な手順は次のとおりです。
1.Rviの初期化
2.While（停止条件不成立）
3、
上記のステップの核となるのは、3 行目の更新関数 f であり、一般的に言えば、f には次の 2 つの特徴があります。
a. f はノンパラメトリックです。これは、f が直接量子化および計算され、パラメーター学習プロセスを必要としないことを意味します。このような特性により、特定の基本的な経験と直感に沿って、 f の設計は非常に繊細である必要があることがわかります。要約すると、次のようになります。
b. f はノードの一次近傍に作用します。これは多くのノード中心のアルゴリズムに共通する特徴です. ノードが更新されるたびに, 隣接ノードのみが計算に参加します. ただし, 更新の数が増えるにつれて, 情報の流れはよりグローバルになります.
另外，停止条件一般选取一个最大的迭代轮数或者Rvi不再变化。下面，我们结合4个经典的图传播算法来看看该范式是怎么发挥实际作用的。
第一个：PageRank
如果将每一个网页都抽象成一个节点，网页A有链接指向B，则存在一条有向边从节点A指向节点B，那么整个Web网页就抽象成为一张有向图。PageRank算法要做的就是对图中的每个节点进行重要性排名。
经验假设：
数量假设——被更多网页链接到的网页更重要；
权重假设——有更少外链的网页将会传递更高的权重。
数量假设表示重要性的计算是加和的，权重假设是说重要性的计算是加权的，因此，如果要量化重要性的计算，其在数学形式上一定是加权求和的。
下面我们直接给出更新函数的向量化形式：
Rvi表示节点Vi的重要度排名
Vj的权重
下面我们举个经典的例子来说明PageRank算法是怎么计算的。假设有A,B,C,D四个网页，其构成的有向图如下：
邻接矩阵
Adj(ij)=1,则表示有节点从j指向节点i的边，对Adj按列进行归一化得到：
我们称M为转移矩阵（Transition,Matrix）Mij表示从节点j跳转到节点i的概率，可以看到：
初始时设每个网页的排名都是1/N
依据上面更新函数，将其写成矩阵形式则更新后：
之后，不断重复这个过程会发现，R最终是收敛的。这里我们需要注意到一个重要的性质，如果R初始化后加和为1，则R在之后的迭代过程中，R的加和永远保持为1，我们可以证明下：
R=MR，两边求和，我们看右边
Mcol为M矩阵列向量之和组成的向量，由M的定义可知，M矩阵每一列加和为1，所以这里Mcol是一个全1向量，因此：
由于R初始化后加和为1，则上式恒等于1。更严格来说，如果有向图是强连通的（任意两个节点之间至少存在一条路径可达），R的初始化加和为1，则可证明R是收敛的。实际上，Web网页并不是强连通的图，存在以下两种情况导致PageRank计算失败：
1、DeadEnds，有节点不存在外链。这会导致什么问题呢？我们举个例子：
D节点不存在任何外链，如果我们进行迭代计算，由于上面的性质可得：
可以看到，新得到的R的求和是不断减小的，这个过程如果一直不断迭代下去，R全部都会变成0，使得计算失效。
2、Spider traps：有些节点只存在指向自己的外链，这又会导致什么问题呢？同样举个例：
节点D只存在指向自己的外链，首先
符合R永远是加和为1的，但是注意
可以看到D的排名R4永远比上一轮大，因此计算下去会快速的发现最后D的R值为1，其他节点都为0。
在实际应用中，为了有效避免上述两个问题，会使用到一个小技巧，就是假设每个节点都有一个假想的外链指向其它任一节点，这样整个图就变成了一个强连通图了。当然，为了尽量不影响最终计算的PageRank值，节点通过假想外链传递的PageRank值会乘一个权重因子β，β一般取0.2或者更小。因此，实际中PageRank的更新公式变成了：
如果按照这个更新公式下去，每个页面都会得到一个合理的排名值。
关于其他的算法，我们会在下篇中继续介绍。
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