目次
連結グラフのスパニング ツリーは、グラフ内のすべての頂点を含むが、ツリーを形成するのに十分な n-1 エッジのみを含む最小連結サブグラフです。接続されたネットワークのすべてのスパニング ツリーの中で、サイド コストの合計が最小のスパニング ツリーは、接続されたネットワークの 最小 コスト スパニング ツリー(MST)、または略して 最小 呼ばれます。 接続されたネットワークの最小コスト スパニング ツリーは、 Prim アルゴリズムと Kruskal アルゴリズムを
使用して 生成できます。
1.プリムアルゴリズム
1.1 実装手順
基本的な手順:
N=(V,{E}) が接続されたネットワークであると仮定すると、TE は最小コスト スパニング ツリーのエッジのセットです。
① 初期 U={u0}(u0∈V), TE=空集合;
② すべての u∈U, v∈VU 辺の中からコストが最小の辺 (u0, v0) を選択し集合 TE にマージする.と同時にマージ v0 U を入力;
③ U=V になるまで②を繰り返す。
つまり、ある頂点の重みが最も小さいエッジが毎回選択されます。
例:
1.2 完全な実装コード + コメント
# include<stdio.h>
# define MAX_VERTEX_NUM 20 //最多顶点个数
# define INFINITY 32768
/*图的邻接矩阵存储结构*/
typedef char VertexData;
typedef struct {
VertexData vertex[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量
int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //邻接矩阵
int vexnum, arcnum; //图的顶点数和弧数
}AdjMatrix;
AdjMatrix G;
/*求顶点位置函数*/
int LocateVertex(AdjMatrix* G, VertexData v) {
int k;
for (k = 0; k < G->vexnum; k++) {
if (G->vertex[k] == v)
break;
}
return k;
}
/*创建一个无向网*/
void CreateAdjMatrix(AdjMatrix* G) {
int i, j, k, weight;
VertexData v1, v2;
printf("请输入图的顶点数和弧数:");
scanf("%d%d", &G->vexnum, &G->arcnum); //输入图的顶点数和弧数
for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
//初始化邻接
for (j = 0; j < G->vexnum; j++)
G->arcs[i][j] = INFINITY;
}
printf("请输入图的顶点:");
for (i = 0; i < G->vexnum; i++)
scanf(" %c", &G->vertex[i]); //输入图的顶点
for (k = 0; k < G->arcnum; k++) {
printf("请输入第%d条弧的两个顶点和权值:", k + 1);
scanf(" %c %c %d", &v1, &v2, &weight); //输入一条弧的两个顶点和权值
i = LocateVertex(G, v1);
j = LocateVertex(G, v2);
G->arcs[i][j] = G->arcs[j][i] = weight; //建立对称弧
}
}
/*普利姆算法*/
void Prime(AdjMatrix G) {
int min, i, j, k, mincost = 0;
int adjvex[MAX_VERTEX_NUM]; //保存相关顶点下标
int lowcost[MAX_VERTEX_NUM]; //保存相关顶点间边的权值
lowcost[0] = 0; //初始化第一个权值为0,即v0加入生成树
adjvex[0] = 0; //初始化第一个顶点下标为0
for (i = 1; i < G.vexnum; i++) {
//循环除下标为0外的全部顶点
lowcost[i] = G.arcs[0][i]; //将v0顶点与之有边的权值存入数组
adjvex[i] = 0; //初始化都为v0下标
}
for (i = 1; i < G.vexnum; i++) {
min = INFINITY; //初始化最小权值为无穷大
j = 1;
k = 0;
while (j < G.vexnum) {
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) {
//如果权值不为0,且权值小于min
min = lowcost[j]; //则让当前权值成为最小值
k = j; //将当前最小值的下标存入k
}
j++;
}
printf("(%c,%c)", G.vertex[adjvex[k]], G.vertex[k]); //打印当前顶点边中权值最小边
lowcost[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务
mincost += min;
for (j = 1; j < G.vexnum; j++) {
//循环所有顶点
if (lowcost[j] != 0 && G.arcs[k][j] < lowcost[j]) {
lowcost[j] = G.arcs[k][j];
adjvex[j] = k; //将下标为k的顶点存入adjvex
}
}
}
printf("\n最小代价为:");
printf("%d\n", mincost);
}
int main() {
CreateAdjMatrix(&G);
printf("\n最小代价生成树为:");
Prime(G);
return 0;
}
1.3 走行結果
2.クルスカルアルゴリズム
2.1 実装手順
基本的な手順:
N=(V,{E}) が接続されたネットワークであると仮定して、N 内のエッジを重みの小さいものから大きいものへと並べます。
①n個の頂点をn個の集合として扱う。
②重みの小さいものから大きいものの順に辺を選択する 選択した辺は、2つの頂点が同じ頂点集合に属さないことを満たし、その辺をスパニングツリーの辺の集合に入れ、同時に2つの頂点が重なった頂点を選択するエッジの頂点は、コレクションがマージされた場所にあります。
③ 全ての頂点が同じ頂点集合になるまで②を繰り返す。
例:
① 選択するエッジを重みの小さい順に並べて、(B,C), 5; (B,D), 6; (C,D), 6; (B,F), 11; を取得します。 (D,F), 14; (A,B), 16; (D,E), 18; (A,E), 19; (A,F), 21; (E,F), 33.
頂点コレクションの状態: {A}、{B}、{C}、{D}、{E}、{F}。
最小全域木のエッジのセット: { }。
②選択するエッジの中で最も重みの小さいエッジを選択:(B,C), 5.
頂点セットの状態は、{A}、{B、C}、{D}、{E}、{F} になります。
最小全域木 {(B,C)} のエッジのセット。
③ 選択するエッジの中で最も重みの小さいエッジを選択します:(B,D), 6.
頂点セットの状態は、{A}、{B、C、D}、{E}、{F} になります。
最小スパニング ツリーのエッジのセット: {(B,C), (B,D)}。
④ 選択する辺の中から重みが最小の辺を選択: (C, D), 6, C, D は同じ頂点集合 {B, C, D} にあるのであきらめて a を再選択選択するエッジからの重み 最小辺: (B,F), 11.
頂点セットの状態は、{A}、{B、C、D、F}、{E} になります。
最小スパニング ツリーのエッジのセット: {(B,C), (B,D), (B,F)}。
⑤ 選択する辺の中から重みが最小の辺を選択: (D, F), 14 D, F は同じ頂点集合 {B, C, D, F} にあるのであきらめて再選択選択されるエッジからのエッジ最小の重みを持つエッジ: (A,B), 16.
頂点セットの状態は、{A、B、C、D、F}、{E} になります。
最小スパニング ツリーのエッジのセット: {(B,C), (B,D), (B,F), (A,B)}。
⑥ 選択するエッジの中で最も重みの小さいエッジを選択します:(D, E), 18.
頂点セットの状態は {A,B,C,D,F,E} になります。
最小全域木のエッジのセット: {(B,C), (B,D), (B,F), (A,B), (D,E)}。
これまでのところ、すべての頂点は同じ頂点セット {A、B、C、D、F、E} にあり、アルゴリズムは終了し、最小スパニング ツリーが構築され、最小コストは 5+6+11+16+18 です。 =56.
1.2 完全な実装コード + コメント
# include<stdio.h>
# define MAX_VERTEX_NUM 20 //最多顶点个数
# define INFINITY 32768
typedef char VertexData;
/*边存储结构*/
typedef struct Edge {
int u;
int v;
int weight;
}Edge, EdgeVec[MAX_VERTEX_NUM];
/*图存储结构*/
typedef struct EdgeGraph {
VertexData vertex[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点数组存储顶点信息
EdgeVec arcs; //弧数组存储弧信息
int vexnum, arcnum; //顶点数,弧数
}EdgeGraph;
/*求顶点位置函数*/
int LocateVertex(EdgeGraph* G, VertexData v) {
int k;
for (k = 0; k < G->vexnum; k++) {
if (G->vertex[k] == v)
break;
}
return k;
}
/*创建一个网*/
void Create(EdgeGraph* G) {
int i, j, k, weight;
VertexData v1, v2;
printf("请输入图的顶点数和弧数:");
scanf("%d%d", &G->vexnum, &G->arcnum); //输入图的顶点数和弧数
for (i = 0; i < G->vexnum; i++) //初始化弧的权值
G->arcs[i].weight = INFINITY;
printf("请输入图的顶点:");
for (i = 0; i < G->vexnum; i++)
scanf(" %c", &G->vertex[i]); //输入图的顶点
for (k = 0; k < G->arcnum; k++) {
printf("请输入第%d条弧的两个顶点和权值:", k + 1);
scanf(" %c %c %d", &v1, &v2, &weight); //输入一条弧的两个顶点和权值
i = LocateVertex(G, v1);
j = LocateVertex(G, v2);
G->arcs[k].u = v1; //建立弧
G->arcs[k].v = v2;
G->arcs[k].weight = weight;
}
}
/*按权值将边从小到大排序*/
void Sort(EdgeGraph* G) {
int i, j;
Edge temp;
for (i = 0; i < G->arcnum - 1; i++) {
for (j = 0; j < G->arcnum - i - 1; j++) {
if (G->arcs[j].weight > G->arcs[j + 1].weight) {
temp = G->arcs[j];
G->arcs[j] = G->arcs[j + 1];
G->arcs[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/*克鲁斯卡尔算法*/
void Kruskal(EdgeGraph G) {
int i, mincost = 0;
Sort(&G); //对边进行按权值排序
int Vexset[MAX_VERTEX_NUM]; //Vexset数组用于记录顶点集合,下标对应顶点序号,值对应顶点集合序号
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) //初始化,各顶点均处于单独的顶点集合中
Vexset[i] = i;
int v1, v2, vs1, vs2;
for (int i = 0; i < G.arcnum - 1; i++){
v1 = LocateVertex(&G, G.arcs[i].u); //弧连接的顶点的序号
v2 = LocateVertex(&G, G.arcs[i].v);
vs1 = Vexset[v1]; //顶点所在顶点集合
vs2 = Vexset[v2];
if (vs1 != vs2){
//判断两个顶点不在同一顶点集合中
printf("(%c,%c)", G.arcs[i].u, G.arcs[i].v);
mincost += G.arcs[i].weight;
for (int j = 0; j < G.vexnum; j++){
if (Vexset[j] == vs2) //合并顶点集合
Vexset[j] = vs1;
}
}
}
printf("\n最小代价为:");
printf("%d\n", mincost);
}
int main() {
EdgeGraph G;
Create(&G);
printf("\n最小代价生成树为:");
Kruskal(G);
return 0;
}
1.3 走行結果
参考:耿國華「データ構造 C言語で解説(第2版)」
データ構造の詳細については、私の「データ構造」列に従ってください: https://blog.csdn.net/weixin_51450101/category_11514538.html?spm=1001.2014.3001.5482