確率論に関するいくつかの基本的な知識

確率空間

ランダム実験は確率論の基本的な概念です. 実験の結果は正確な言語で表現することはできませんが, 次の 3 つの特徴があります. ( 1) 同じ条件下で繰り返すことができる. 3) 各試行の前に、どの結果が表示されるかを決定することはできません。

ランダムな実験のすべての可能な結果のセットは、この実験のサンプル空間または基本イベント空間と呼ばれ、 Ω \Omegaとして示されます。$ああ$。$\Omega$の要素 e は、サンプル ポイントまたは基本イベントΩ \Omega。$\Omega$のサブセット イベント A はイベント、サンプル空間$\Omega$は不可避事象、空集合$\varnothing$は不可能事象と呼ばれます。

定義 1 : $\Omega$は集合、F は$\Omega$のいくつかのサブセットで構成されるセットのファミリー
(1)Ω ∈ F \Omega \in Fの場合$おお\epsilon F$
（2）若$あ\epsilon F$ ,则$\widetilde{あ}=あああ\_\_\epsilon F$
（3）若${あ}_{}\epsilon F、n=1、2、...$，则${\cup }_{n=1}^{}{あ}_{}\epsilon F$はσ − \sigma^{-}
と呼ばれます$p^{-}$代数 (ボレル体)。$(\Omega ,F)$は可測空間であり、F 内の要素はイベントと呼ばれます。
定義から簡単に知ることができます:
(4)$\varnothing \epsilon F$
（5）若A,B$\in$ F，则$A\backslash B\epsilon F$
（6）若${あ}_{}\epsilon F、n=1、2、...$，则${\cup }_{私は=1}^{}{あ}_{}$，${\cap }_{私は=1}^{}{あ}_{}$，${\cap }_{私は=1}^{}{あ}_{}\epsilon ふ$

確率変数とその分布

確率変数は確率論の主な研究対象であり、確率変数の統計法則は分布関数によって記述されます。

定義 4 : Let $(ああ、F、P)$は確率空間、$バツ=X\left(e\right)$はΩ \Omegaで定義されます任意の実数 x に対して { e : X ( e ) ≤ x } x,\{e: X(e) \leq x\} の場合、$\Omega$$\times 、\{と：X(と)\le x\}$、次に$X\left(e\right)$はF 上の確率変数、確率変数$X$，称
$F\left(x\right)=P(e:X(と)\le x)、\infty <バツ<\infty$
は確率変数 の分布関数。

分布関数には、次のプロパティがあります。
(1) $F\left(x\right)$は非減少関数です。つまり、${バツ}_{}<{バツ}_{}$、$F\left({\times }_{}\right)\le F({\times }_{}）$。
（2）$F(-\infty )={\mathrm{リム}}_{x\to -}F\left(x\right)=0,F(\infty )={\mathrm{リム}}_{\times \to }F\left(x\right)=1$ .
（3）$F\left(x\right)$は右連続、つまり$F(\times +0)=F\left(x\right)$ .

離散速記変数 X の確率分布は、分布列 pk = P ( X = xk ) , k = 1 , 2 , . . p_k=P(X=x_k),k=1,2,. によって記述されます
$p_{}=P(X={バツ}_{})、k=1、2、..\; .その$
分布関数
$F\left(x\right)={\sum }_{{バツ}_{}\le }{p}_{}$
連続確率変数 X の確率分布は、確率密度$f\left(x\right)$記述、その分布関数
$F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{}f\left(t\right)dt$

一般的な確率変数分布表は次のとおりです。

定義 5 : Let $(\Omega ,F,P)$は確率空間、$バツ=X\left(と\right)=\left(X_{}\right(e)、...{バツ}_{}(e))\; は$Ω \Omegaで定義されますn次元空間の$\Omega$$R^{}$任意のx = ( x 1 , x 2 , . . xn ) ∈ R n , { e : X 1 ( e ) ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 ,${}^{.}$$バツ=({\times }_{}、{バツ}_{}、...{バツ}_{})\epsilon R^n、\{e:{バツ}_{}(へ)\le {バツ}_{}、{バツ}_{}\le {バツ}_{}、...、{バツ}_{}(へ)\le {バツ}_{}\}\epsilon F$の場合、$バツ=X\left(e\right)$はn 次元確率変数またはn 次元確率ベクトルあり、
$F\left(x\right)=F({\times }_{}、{バツ}_{}、...{バツ}_{})=P(e:{バツ}_{}(へ)\le {バツ}_{}、{バツ}_{}\le {バツ}_{}、...、{バツ}_{}(へ)\le {バツ}_{})、バツ-({\times }_{}、{バツ}_{}、...{バツ}_{})\epsilon R^{n=}$
X$バツ=(X_{}、{バツ}_{}、...{バツ}_{})$共同分布関数。

確率変数の数値的性質

確率変数の確率分布は、その分布関数によって完全に記述されますが、分布関数を決定する方法は非常に面倒です。実際の問題では、確率変数のいくつかの固有値を知るだけでよい場合があります。
定義 7 : 確率変数 X の分布関数をF ( x ) F(x)とする$F\left(x\right)$，若${\int }_{-\infty }^{}|x|dF\left(x\right)<\infty$の場合、
$ＥＸ\_={\int }_{-\infty }^{}xdF\left(x\right)$
は、 Xの数値期待値または平均上式の右辺の積分は、ルベーグ・スティルチェス積分と呼ばれます。
X が離散確率変数の場合、分布は
$p_{}=P(X={バツ}_{})、k=1、2、...$
次に
$ＥＸ\_={\sum }_{k=1}^{}{バツ}_{}{p}_{}$
X が連続確率変数の場合、確率密度は$f\left(x\right)$，则
$ＥＸ\_={\int }_{-\infty }^{}xf\left(x\right)dx$
確率変数の数学的期待値は、確率による確率変数の値の平均です。

定義 8 : EX 2 < ∞ EX^2 <\inftyの場合、X を確率変数とする$ＥＸ{\_}^2<\infty$,则称$DX=E\left[\right(X-EX{)}^2]\; は$X の分散です。
確率変数の数学的期待値は、確率変数の値が平均から逸脱する度合いです。

定義 9 : X, Y を確率変数とし、$ＥＸ{\_}^2<\infty$ ,$E{Y}^2<\infty$ ,base
$B_X=E\left[\right(X-EX\left)\right(Y-EY\left)\right]$
は X と Y の共分散で、
$r_X=\frac{B_X}{\sqrt{DX}\sqrt{日\_}}$
若$r_X$0 の場合は X と Y に相関がないことを意味し、相関係数は X と Y の間の線形相関の度合いを示します。

注意が必要ないくつかのプロパティ:
(1) $E(からX+bY)=EX\_+bEY$ (a と b は定数)
(2) X と Y が独立の場合、$そして\left[XY\right]\_=EXEY$ ;
(3) X と Y が独立の場合、$D(aX+bY)=a^{2D}\times \_+b^{2}DY$(a、b は定数)

条件付期待

X と Y を離散確率変数とする. 与えられた y に対して、$P\{AND=や\}>0$则称
$P\{X=x|Y=や\}=\frac{P\{X=x,Y=y}{P\{Y=Y\}}$
与えられた Y = y に対して$よ=y$における X の条件付き確率

给定$よ=y$、条件付き分布関数は次のとおりです:
$F(x|y)=P\{\times \le x|Y=y\}、バツ\epsilon R$

与えられた$よ=y$、条件付き期待値は次のとおりです。
$E[X|Y=y]=\int xdF(x|y)={\sum }_{}xP\{X=x|Y=や\}$

X と Y が連続確率変数の場合、それらの同時確率密度は$f(x,y)$ 、次にf Y ( y ) > 0 f_Y(y)>0すべてについて${へ}_{}\left(y\right)>0by$ y,by$よ=y$、条件付き確率密度は次のように定義されます:
$f(x|y)=\frac{f(x,y}{{へ}_{}\left(y\right)}$

给定$よ=y$、の条件付き分布関数
$F(x|y)=P\{X\le x|Y=や\}={\int }_{-\infty }^{}f(u|y)デュ\_$

给定$よ=y$、条件付き期待値は
$E[X|Y=y]=\int xdF(x|y)=\int xf(x|y)$

これから、確率がイベント {Y=y} の条件付き確率であることを除いて、定義は無条件の場合とまったく同じであることがわかります。

E[X|Y=y] は y の関数であり、y は Y の可能な値です。既知の Y の条件下で X の平均値を十分に考慮する場合、y を Y に置き換える必要があり、E[X|Y=y] は確率変数 Y の関数であり、これも確率変数であり、 X は Y の条件付き期待値の下にあります。

プロパティ:
確率変数 X と Y が存在すると予想される場合、
$ＥＸ\_=E\left[E\right(X|Y)]=\int E[X|Y=y]d{F}_{}\left(y\right)$
Y が離散確率変数の場合、式は次のように表すことができます。
$ＥＸ\_={\sum }_{}E[X|Y=と\left]P\right\{と=Y$が確率密度f ( y ) f(y)
の連続確率変数の$場合$$f\left(y\right)$
$ＥＸ\_={\int }_{-\infty }^{}E[X|Y=y\left]f\right(y)dy$