2021 ICPCアジア済南地域コンテスト-J行列式（モジュロガウス消去法）

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https://pintia.cn/market/item/1459833348620926976

トピック

タイトルの意味

n×nn\timesnを与えます$n\times \times n$の行列であり、長さ10 4 10^4の行列を与えます。$10^4$以内の$delt$は行列式の絶対値表し。次に、この行列の行列式の値の正または負が必要です。正の数の場合は出力+そうでない場合は出力-

アイデア

実際、これは通常のガウスの消去法ですが、$delt$のデータは非常に大きく、浮動小数点型を使用するとオーバーフローや精度の問題が発生するため、モジュラス（素数）を自分で選択する必要があります。ここでは$10^9+7$次に、 deltdeltを読みます$delt$はモジュロを取り続け、モジュロガウスの消去法を実行した後、行列式の値が$deltは$同じです。読み取りは絶対値であるため、計算する行列式の値が負の数の場合、モジュロ演算があるため、絶対値と負の数に値を加えたものになります。モジュラスが異なる後、ガウス除去の操作については、https

コード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define endl "\n"
#define PII pair<int,int>
#define INF 0x3f3f3f3f

const int N = 1e2+10;

ll n,a[N][N],delt;

ll ksm(ll a,ll b){
    
    
	ll ans = 1;
	while(b){
    
    
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return ans;
}

ll inv(ll x){
    
    
	return ksm(x,mod-2);
}

void guss(){
    
    
	ll ans = 1LL;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
    
    //枚举当前处理到第几列
		for(int j = i;j <= n; ++j) {
    
    //找到一个第i列不为空的行
			if(a[j][i]) {
    
    
				for(int k = i;k <= n; ++k) //交换i,j行
					swap(a[i][k],a[j][k]);
				if(i != j) ans = -ans;
				break;
			}
		}
		if(!a[i][i]) return ;
		//这里就是将第i行下面所有行的第i列清空，变成一个阶梯型的矩阵
		for(ll j = i + 1,iv = inv(a[i][i]);j <= n; ++j) {
    
    
			ll t = a[j][i] * iv % mod;
			for(ll k = i;k <= n; ++k) {
    
    
				a[j][k] = (a[j][k] - t * a[i][k] % mod + mod) % mod;
			}
		}
		//处理完第i行下面的所有行，于是我们将其a[i,i]乘在ans中
		ans = (ans * a[i][i] + mod) % mod;
	}
	//如果说我们通过取模计算的结果和delt相同，那么就说明矩阵的行列式是正的
	//因为如果是负数的话由于我们算的是行列式，而delt给的是行列式的绝对值，那么肯定会有不同
	if(ans == delt) cout<<"+"<<endl;
	else cout<<"-"<<endl;
}

int main()
{
    
    
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	string s;
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
    
    
		cin>>n>>s;
		delt = 0LL;
		for(int i = 0,l = s.size();i < l; ++i) {
    
    
			delt = (delt * 10LL + s[i] - '0') % mod;
		}
		for(int i = 1;i <= n; ++i) 
			for(int j = 1;j <= n; ++j)
				cin>>a[i][j];
		guss();
	}
	

	return 0;
}