leetcode:372.超级次方

题目

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/super-pow

你的任务是计算 ab 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例 1：

输入：a = 2, b = [3]
输出：8

示例 2：

输入：a = 2, b = [1,0]
输出：1024

示例 3：

输入：a = 1, b = [4,3,3,8,5,2]
输出：1

示例 4：

输入：a = 2147483647, b = [2,0,0]
输出：1198

提示：

1 <= a <= 231 - 1
1 <= b.length <= 2000
0 <= b[i] <= 9
b 不含前导 0

解法

• 如果使用暴力算法，先将后面的数组拼接为整数，之后再求幂指数，会提示超时

• 幂指数解法有一个关于快速幂的内容，即将$a^n$拆分为$a^{n/2}\ast a^{n/2}$, 然后判断n的奇偶数，看看是否需要再乘以一个a

• 另外列表元素组合成一个整数也可以拆成求和的形式，$a^{121}=a^{100}+a^{20}+a^1$的样式，因此，列表元素如果取反之后，然后遍历的时候，每个元素遍历完再乘以10就能模拟这种大数了

• “整除分配律”： $(a\ast b)\%mod=(a\%mod)\ast (b\%mod)\%mod$

• python

MOD = 1337

class Solution:
    def superPow(self, a: int, b: List[int]) -> int:
        res = 1
        x = a % MOD
        for y in b[::-1]:
            res = (res * self.quickPow(x, y)) % MOD
            x = self.quickPow(x, 10)
        return res
    
    def quickPow(self, x: int, n: int) -> int:
         res = 1
         while n:
            if n % 2 == 1:
                res = (res * x) % MOD
            n >>= 1
            x = (x * x) % MOD
         return res

• c++

class Solution {
    
    
    const int MOD = 1337;

public:
    int quickPow(int x, int n)
    {
    
    
        int res = 1;
        x = x % MOD;
        while(n)
        {
    
    
            if(n&1)
            {
    
    
                res = (long) res * x % MOD;
            }
            x = long (x*x) % MOD;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }

    int superPow(int a, vector<int>& b) {
    
    
        int nSize = b.size();
        int res = 1;
        for(int i=nSize-1; i>=0; i--)
        {
    
    
            res = (long) res * quickPow(a, b[i]) % MOD;
            a = quickPow(a, 10); 
        }
        return res;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：
  • $O(logK)$ 假设 b 数组所代表的数字为 K，使用快速幂的复杂度为 $O(logK)$，或者说是 $O(n\ast \log 10)$，其中 n 为数组 b 的长度，数字 10 所代表的含义是计算一个次方为 10 以内的值；而不使用快速幂的复杂度为 $O(n\ast 10)$
• 空间复杂度
  • $O(1)$