NOIP基础算法：双指针、二分、前缀和、差分

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★★ 双指针

★★★★ 二分 

★ 浮点数二分

★ 一维前缀和、差分

★ ★ ★  二维前缀和、差分

---

★  难度指数 （个人看法，因人而异)

★★ 双指针

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}

常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

★★★★ 二分 

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

->条件 ：有序序列

->边界问题

当 l 取 mid时，r=mid-1，mid=l+r+1>>1；即mid必须向上取整 ，此时返回查找值后置位

当 r 取mid时，l=mid+1,mid=l+r>>1；即mid必须向下取整，此时返回的是查找值在数组中的前置位

->越界问题

mid 可表示为  l +（r- l) / 2

 

★ 浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

eps的取值一般要比题目要求精度多2位

★ 一维前缀和、差分

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c 

★ ★ ★  二维前缀和、差分

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和

预处理 s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] - s[i-1][ j-1]+ a[i] [j]

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

图解

 S[x1, y1] += c；

 S[x2 + 1, y1] -= c；

 S[x1, y2 + 1] -= c；

 S[x2 + 1, y2 + 1] += c；

图解