First singular vector as a robust representative

$引理：方阵C的[{\lambda }_i,v_i]$
$$||\partial v_i|{|}_2\le \sqrt{{\Sigma }_{i\ne j}\frac{1}{({\lambda }_i-{\lambda }_j{)}^2}}||\partial C|{|}_F$$

$F范数：对应元素的平方和再开方,偏导表示对任易标量变量进行偏导数$

$$\begin{gathered} 对C中的每一个项进行求导，将得到在C的perturbations下第i个谱元素v_i的sensitivity。 \\ 其与{\lambda }_i与{\lambda }_j的距离成反比 \end{gathered}$$
$因此定义了对方阵特征向量v_{i}sensitivity系数s_i\triangleq \sqrt{{\Sigma }_{i\ne j}\frac{1}{({\lambda }_i-{\lambda }_j{)}^2}}$
$一般来说，第一个奇异分量v_1是对扰动最不敏感的方向。$
$这是因为，在许多情况下，连续特征值之间的间距正在减小（see[3]andreferencestherein）$
$s1<si,\forall i\le 2$
$并且，我们可以通过将ID特征向量嵌入到一维子空间的并集上，进一步提高鲁棒性$
$$\begin{gathered} 因为奇异值表示沿其相应奇异向量集中的能量量, \\ 若每类数据点的几乎所有能量都集中在其对应的第一奇异向量上 \\ wewillhavelarge{\lambda }_{1}andsmall{\lambda }_i,i\ge 2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 因此，如果属于同一类的特征空间中的向量位于一维子空间上, \\ 我们可以使用X_l的第一个奇异向量作为特征空间中类子空间的鲁棒代表，并拒绝异常值。 \end{gathered}$$

[3] Daguang Chen, Tao Zheng, and Hongcang Yang. Estimates
of the gaps between consecutive eigenvalues of Laplacian.
Pacific Journal of Mathematics, 2016. 3