2291.分组背包

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题目大意

有N件物品和一个容量为$V(V\le 200)$的背包，有$N(N\le 30)$个物品，每个物品有一个组号，最大的组号是$t(t\le 10)$。第 $i$ 件物品的费用是 $w[i]$ ，价值是 $p[i]$ 。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

解题思路

这一道题，就是一道分组背包的模板题，只要使用分组背包就可以 $AC$ 了！

分组背包

其实，关于背包的算法，大部分都可以转化为01背包，那么分组背包如何转回呢？其实，我们可以这么来考虑：分组背包，就是每一组中的物品不可以重复，01背包，就是每一个物品不能重复，而01背包是这么写的：

for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
	for(int j=v;j>=w[i];j--){
    
    
		f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+p[i]);//处理每一个物品
	}
}

所以如果想要使每一组中的物品不重复，只要将处理每一个物品的代码改为处理每一组的代码，把最外层的循环改成循环组数即可：

for(int i=1;i<=t;i++){
    
    //枚举组号
	for(int j=v;j>=0;j--){
    
    //因为使用了滚动数组，必须要逆推，防止覆盖
		for(int k=0;k<a[i].size();k++){
    
    //遍历每一组的对应编号
			if(j-w[a[i][k]]>=0)//防止RE
				f[j]=max(f[j],f[j-w[a[i][k]]]+p[a[i][k]]);//使用滚动数组，节省空间
		}
	}
}

代码实现

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
int v,n,t,p[100],w[100],f[1000],T;
vector<int> a[100];
int main()
{
    
    
	cin>>v>>n>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
		cin>>w[i]>>p[i]>>T;
		a[T].push_back(i);//编号存入动态数组
	}
	for(int i=1;i<=t;i++){
    
    //枚举组号
		for(int j=v;j>=0;j--){
    
    //因为使用了滚动数组，必须要逆推，防止覆盖
			for(int k=0;k<a[i].size();k++){
    
    //遍历每一组的对应编号
				if(j-w[a[i][k]]>=0)//防止RE
					f[j]=max(f[j],f[j-w[a[i][k]]]+p[a[i][k]]);//使用滚动数组，节省空间
			}
		}
	}
	cout<<f[v];
}

样例

输入

10 6 3
2 1 1
3 3 1
4 8 2
6 9 2
2 8 3
3 9 3

输出

20