1644.取数字问题

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题目大意

给定M*N的矩阵，其中的每个元素都是-10到10之间的整数。从左上角往右下角走，每一步只能向右或向下，并且不能走出矩阵的范围。你所经过的方格里面的数字都必须被选取，请找出一条最合适的道路，使得在路上被选取的数字之和是尽可能小的正整数。

解题思路

这个题目，感觉可以使用数塔问题的动态规划方法，但是当你仔细研究之后会发现，题目要求是：$使得在路上被选取的数字之和是尽可能小的正整数$ 如果使用普通的动态规划，因为答案只有一个，所以只能是最小的数字，不一定是正数，于是，做法被证伪了。那么如何来做呢？做法有两个：

方法1：动态规划（判定性问题）

其实，动态规划的方法之所以不行，是因为得到的一定是最小的答案，只有一个。那如果是再加上一个特判，必须要是正整数才可以更新数组可以吗？其实也不可以，因为中间如果都得是正整数，那就不一定是最小了。这怎么办？就只能在一个位置上记录多个数字。
有了这个想法，不难推导出这样的转移方程，如果当前位置的坐标是$(i,j)$的话，$f_{i,j,k}$如果为$true$就表示到达这个位置所走过的路线上数字的和有可能为$k$，否则不可能，而当前位置上的值为$true$的$k$就是左边外位置为$true$的所有$k$再加上当前位置所对应的数，和上面外位置为$true$的所有$k$再加上当前位置所对应的数（由于有可能出现负数，我们就需要将所有的数字向右移动一定的位置，使最小的负数也可以变成非负数，由题可知，这个数应该是 $10\times 10\times 10$ 但是，为了保险起见，最好使用 $1100$）。这么做之后答案就是右下角从 $1100$ 开始最小的的 $k$ 再减去 $1100$ 。

代码实现

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int M=1100;
int n,m,a[20][20];
bool f[20][20][2200];
int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
		for(int j=1;j<=m;j++){
    
    
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	f[1][1][a[1][1]+M]=true;//边界条件，初始的位置，加上M防止出现负数
	for(int i=2;i<=n;i++){
    
    //初始化，第一列
		for(int j=1;j<=M*2;j++)//枚举可能的数字
			if(f[i-1][1][j])//只能从上面过来，判断所枚举的数字
				f[i][1][j+a[i][1]]=true;//改变当前位置
	}
	for(int i=2;i<=m;i++){
    
    //初始化，第一行
		for(int j=1;j<=M*2;j++)//枚举可能的数字
			if(f[1][i-1][j])//只能从左边过来，判断所枚举的数字
				f[1][i][j+a[1][i]]=true;//改变当前位置
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
    
    //枚举行，从2开始
		for(int j=2;j<=m;j++){
    
    //枚举列，从2开始
			for(int k=1;k<=M*2;k++)//枚举可能的数字
				if(f[i-1][j][k])//从上面过来，判断所枚举的数字
					f[i][j][k+a[i][j]]=true;//改变当前位置
			for(int k=1;k<=M*2;k++)//枚举可能的数字
				if(f[i][j-1][k])//从左边过来，判断所枚举的数字
					f[i][j][k+a[i][j]]=true;//改变当前位置
		}
	}
	for(int i=M+1;i<=M*2;i++)//因为所有位置都加上了M，所以其实M+1才是真正的1
		if(f[n][m][i]){
    
    //找到了答案
			cout<<i-M;//还原答案
			return 0;
		}
	return 0;
}

方法2：递归算法，记忆化优化

如果想要从右下角推到左上角，那么使用递归就最合适了。我们可以先写一个记忆化搜索，有三个参数，分别表示第几行，第几列和当前数字是几，每一次递归向上或者左递归，一直知道左上角。记忆化的方法和动态规划很像，也是使用$f_{i,j,k}$表示在坐标为$(i,j)$时，从左上角走到当前位置所经过位置对应数的和是为 $k$ 否可行。我们可以一直枚举答案，再使用递归来判断是否可行，也就是左上角的数字是 $1010$ （防止出现负数所加上的数，也就是真正的0点）。

代码实现

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int M=1100;
bool f[20][20][2200];
int n,m,a[20][20];
void dfs(int x,int y,int d){
    
    
	f[x][y][d+M]=1;//记忆化+判重
	if(f[1][1][M]) return;//终止条件之一，达到终点（另外一个是无法扩展）
	if(x>1&&!f[x-1][y][d-a[x-1][y]+M]) dfs(x-1,y,d-a[x-1][y]);//记忆化+判重
	if(y>1&&!f[x][y-1][d-a[x][y-1]+M]) dfs(x,y-1,d-a[x][y-1]);//记忆化+判重
}
int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>a[i][j];
	for(int i=1;i<=M;i++){
    
    //枚举答案
		dfs(n,m,i-a[n][m]);//运行递归
		if(f[1][1][M]){
    
    //检查答案
			cout<<i;
			return 0;
		}
	}
	cout<<-1;
}

样例

输入

2 2
0 2
1 0

输出

1