LeetCode —— 60. 第k个排列（Python3）

给出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

“123”
“132”
“213”
“231”
“312”
“321”

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

来源：力扣（LeetCode）
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解题思路：最直接的方法就是使用深度优先遍历+回溯方法，但是这种方法应该会超时。这里选择用数学的办法进行分析：

假如给定集合[1,2,3,…,10]，以1开头的的排列组合数为9!，以2开头的排列组合数为9！，。。。，以10开头的排列组合数为9！；回顾头来比较k和9！的大小关系，如果k小于9！，则第k个排列肯定以1开头，接着题目就变换为给出集合[2,3,4,…,10]，求第k个排序，这样我们就得到了一个规模更加简单的问题，我们可以继续套用上面的解法进行求解。

如果$k>9!$，当$2\ast 9!>k>9!$的时候，表示第k个排列以2开头，接着令$k=k-9!$，题目装换为给出集合[1,3,4,…,10]，求第k个排序，这样我们同样得到一个规模更加简单的问题，继续套用相同的解法；、

其Python3代码如下：

class Solution:
    def getPermutation(self, n: int, k: int) -> str:
        strs = [str(i) for i in range(1,n+1)]  # 集合所有元素
        def sums(n):  # 阶乘函数
            if n == 1:
                return 1
            return n*sums(n-1)
        
        ans = ""  # 用于保存最终返回结果
        while k>0:  # 当k==0时证明找到第k个排列
            lens = len(strs)  # 用于进行阶乘，表示当前集合中剩下的元素个数
            if k==1:  # 当k=1时则表示当前集合的第一个排列，直接返回即可
                break
            for i in range(1,n+1):  # 遍历集合中的每一个元素
                k -= sums(lens-1)  # 减去以当前元素为起始位置的排列数量
                if k<=0:  # 当k小于零时，表示当前元素为最终目标的起始位置
                    ans += strs[i-1]  # 将其加入ans中
                    k += sums(lens-1)  # 回溯，使k加上阶乘
                    strs.pop(i-1)  # 删除集合中的当前元素
                    break  # 跳出for 循环
        ans += "".join(strs)  # 拼接strs中剩余的元素
        return ans

时间复杂度：最坏情况下，需要遍历整个集合才能找到合适的当前元素，因此时间消耗为$n+(n-1)+..+1$，所以时间复杂度为$O(n^2)$；
空间复杂度：$O(n)$；