第十二届蓝桥杯B组 试题E 路径 题解

试题 E: 路径
本题总分：15 分
【问题描述】
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。小蓝的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点之间没有边相连；如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边连。
例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示：建议使用计算机编程解决问题。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

解题思路：

用邻接矩阵存储各边的权值，注意单个顶点的权值为无穷大，两顶点绝对小于等于21的为其最大公倍数。求两点间的最短路径，由于是填空题，可以不用考虑时间复杂度，直接用floyd算法。利用动态规划思想，将所有两顶点间距离都求出至辅助数组。最后直接输出待求两边即可。

floyd算法https://blog.csdn.net/weixin_48898946/article/details/121019298

java代码：

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Graph graph = new Graph();
		graph.createGraph();
		graph.floyd();
	}
}

class Graph{
	int []vertex = new int[2021];
	int [][]edge = new int[2021][2021];
	int distance[][];
	int INF = 0x3f3f3f3f;
	
	public void createGraph() {
		for(int i = 0; i < 2021;i++) {
			vertex[i] = i + 1;
		}
		for(int i = 0; i < 2021;i++) {
			for(int j = 0; j < 2021;j++) {
				if(Math.abs(vertex[i] - vertex[j]) <= 21) {
					if(Math.abs(vertex[i] - vertex[j]) == 0) {
						edge[i][j] = INF;
					}else {
						edge[i][j] = getNumb(vertex[i], vertex[j]);
					}
				}else {
					edge[i][j] = INF;
				}
			}
		}
		distance = edge;
	}
	
	public void floyd() {
		for(int k = 0; k < 2021;k++) {
			for(int i = 0; i < 2021;i++) {
				for(int  j = 0; j < 2021;j++) {
					int len = edge[i][k] + edge[k][j];
					if(edge[i][j] > len) {
						edge[i][j] = len;
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(distance[0][2020]);//输出顶点1到顶点2021的最短距离
	}
	
	public int getNumb(int a,int b) {
		return a / getNum(a, b) * b;
	}
	
	private int getNum(int a,int b) {
		int z = Math.max(a, b);
		int y = Math.min(a, b);
		while(true) {
			if(z % y == 0)return y;
			int temp = z;
			z = y;
			y = temp % y;
		}
	}
}

程序输出：

10266837