【ACWing】241. 楼兰图腾

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/243/

在完成了分配任务之后，西部$314$来到了楼兰古城的西部。相传很久以前这片土地上（比楼兰古城还早）生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀$(V)$，一个部落崇拜铁锹$(\wedge )$，他们分别用$V$和$\wedge$的形状来代表各自部落的图腾。西部$314$在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了$n$个点，经测量发现这$n$个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。西部$314$认为这幅壁画所包含的信息与这$n$个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为$(1,y_1),(2,y_2),\dots ,(n,y_n)$，其中$y_1\sim y_n$是$1$到$n$的一个排列。西部$314$打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。如果三个点$(i,y_i),(j,y_j),(k,y_k)$满足$1\le i<j<k\le n$且$y_i>y_j,y_j<y_k$，则称这三个点构成$V$图腾；如果三个点$(i,y_i),(j,y_j),(k,y_k)$满足$1\le i<j<k\le n$且$y_i<y_j,y_j>y_k$，则称这三个点构成$\wedge$图腾；西部$314$想知道，这$n$个点中两个部落图腾的数目。因此，你需要编写一个程序来求出$V$的个数和$\wedge$的个数。

输入格式：
第一行一个数$n$。
第二行是$n$个数，分别代表$y_1，y_2,\dots ,y_n$。

输出格式：
两个数，中间用空格隔开，依次为$V$的个数和$\wedge$的个数。

数据范围：
对于所有数据，$n\le 200000$，且输出答案不会超过int64。
$y_1\sim y_n$是$1$到$n$的一个排列。

可以用树状数组来做，树状数组可以参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/103870987。例如我们考虑求$y_i$左边比其小的数的个数，考虑一个长$n$的数组$A$，一开始全是$0$，然后按从左到右次序将$A[y_j],1\le j\le i-1$依次加$1$，这样求$A$的前$y_i-1$个数的前缀和即知$y_i$左边比其小的数的个数。类似办法可以求$y_i$右边比其小的数，然后利用乘法原理即可求出$\wedge$型的图案个数。$\vee$型图案个数类似。单点修改与前缀和，可以利用树状数组来做。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n, a[N];
int tr[N];
int larger[N], smaller[N];

int lowbit(int x) {
    
    
    return x & -x;
}

void add(int k, int c) {
    
    
    for (int i = k; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int k) {
    
    
    int res = 0;
    for (int i = k; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        larger[i] = sum(n) - sum(a[i]);
        smaller[i] = sum(a[i] - 1);
        add(a[i], 1);
    }

    memset(tr, 0, sizeof tr);
    long res1 = 0, res2 = 0;
    for (int i = n; i; i--) {
    
    
        res1 += larger[i] * (long) (sum(n) - sum(a[i]));
        res2 += smaller[i] * (long) (sum(a[i] - 1));
        add(a[i], 1);
    }

    printf("%ld %ld\n", res1, res2);

    return 0;
}

时间复杂度$O(n\log n)$，空间$O(n)$。