贝祖定理&扩展欧几里得

贝祖定理是一个关于最大公约数的定理：

若a，b是整数，那么对于任意整数x，y，ax+by是gcd(a,b)的倍数，且一定存在x，y使得ax+by=gcd(a,b)成立。

定理内容较为简单，但光看定理的内容貌似没有太大用处，我们应该着手解决一下如何求出x，y，于是，可以引出扩展欧几里得。

扩展欧几里得

当求ax+by=gcd(a,b)时，我们可以用一组特解x0，y0来表示x和y的通解：
$x=x_0+b/gcd(a,b)\ast t$
$y=y0+a/gcd(a,b)\ast t$
这里的“/”为向下取整。
试图找出相邻两状态之间的关系：
当前状态有：a，b，以及一组解x，y
下一状态有：a，a%b，以及一组解x1，y1
因为a%b=a-(a/b)*b，
带入可得：
$gcd(a,b)=b{x}_1+a{y}_1-(a/b)\ast b{y}_1$
$=a{y}_1+b\ast (x_1-a/b\ast y_1)$
于是可以发现：
$x=y_1,y=x_1-(a/b)\ast y_1$
便可由下一状态通过递归得到现在的状态。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
    
    if(b == 0)
    {
    
    
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    int t = y;
    y = x - (a/b) * y;
    x = t;
    return r;
}

总结：

当欧几里得递归到最后时，此时的‘a’就是gcd(a,b)，因而直接令x=1，y=0，再通过相邻两层递归之间的关系求解出上一层递归中的x，y。