网络流学习笔记#1：最大流和最小割

-3.前言

两年以前，那时连基础算法都不甚熟悉，却因为看到 Leasier 会这么多高深和深奥的算法而嫉妒，下定了决心，要学一些“看起来很高深的算法”，可是呢，一方面自己实力不足，另一方面是自己的懒惰，最终呢，也就仅仅是复制了一篇题解，过了个模板而已，至于这个“网络流”究竟是什么，还是一问三不知。

现在，终于有机会重新面对这个算法了。

-2.一些约定

$(u, v)$ 表示一条从 $u$ 到 $v$ 的有向边。

$s$ 表示源点， $t$ 表示汇点。

如无特殊说明，我们所讲的图都是有向无环图，有且仅有一个源点和汇点。

除非有特殊强调，容量表示此条边剩余的容量（残量），原容量表示原始容量。

-1.一些定义

流网络指符合上述约定的一个有向无环图

$f (u, v)$ 表示 $(u, v)$ 的实际流量。

$c (u, v)$ 表示 $(u, v)$ 的原容量。

那么显然有 $\le c(u,v)$ 。

定义一个点 $u$ 流入量指所有出边为 $u$ 的边流量之和。流出量反之亦然。

定义残量 $d (u, v) = c (u, v) - f (u, v)$

定义路的意思为 $s$ 到 $t$ 的一条路径（参见图论定义）。

定义增广路是指一条路，这条路上的任意容量都为正数。

0.一些性质和常识

对于每一条边 $(u, v)$ ，我们称其为可行流当且仅当：

$\le c(u,v)$
流量守恒，即是对于 $u, v$ 都有其流入量等于其流出量
$f (u, v) = - f (u, v)$ （斜对称性）

虽然一个流网络是一个有向无环图，但事实上，我们在解决这样的问题时，会对于每一条 $(u, v)$ 都建一条反向边 $(v, u)$ ，使得：

$c (v, u) = 0$

$f (v, u) = - f (u, v)$

理性理解：

由于斜对称性，显然。

感性理解：

网络流是唯二可以反悔的算法

其实也就是相当于把流退回来。

那么显然有：

$d (v, u) = c (v, u) - f (v, u)$

$d (v, u) = 0 - (- f (u, v))$

$d (v, u) = f (u, v)$

这是个很重要的结论。

1.最大流问题

定义

求在一个流网络中，初始时 $s$ 有无限的流量，在满足约束的情况下，求最多有多少流量流入 $t$ 。

如何去解决？

我们前面那堆定义显然不是写来玩的，思考一下，增广路是什么？是不是一条可以流水的路？也就是这东西是答案的一部分，其对答案贡献为（设该增广路上有 $k$ 个点 $e_1$ 到 $e_k$ ）：

$\sum\limits_{i=1}^{k-1} \min (d(e_i,e_{i+1}))$

那么显然可以通过 DFS/BFS 来求解，复杂度 $O(VE^2)$

真的是最优做法吗？

显然会有一些更优玄学的做法，先介绍两种： ISAP 和 Dinic

按照紫书上刘汝佳老师的话来讲，选手只需要了解 EK 的原理（就是 BFS ），考试时使用 ISAP/Dinic 就好了，把它们当做像 STL 一样的黑盒函数来用，所以这部分咕掉了。

最小割定理

$C(S,T)_{\min}=F(s,t)_{\max}$

伪证明：

$C(S,T)=\sum c(u,v)(u \in S,v \in T)\le F(s,t)_{\max}$

换个方面，感性理解：

“割”的另一层含义是把“割”的边残量为 $0$ ，所以一个 $s - t$ 割必然会使得 $F(s,t)_{\max}=0$ ，并且所有流量都在 $S$ 集合中，当割消失，流量流过，流到 $t$ ，于是也可以得到
$C(S,T)_{\min}=F(s,t)_{\max}$ 。

~~天才一秒记住最小割的定理：最小割=最大流。~~

关于最小割的一些闲话

怎么看最小割是否唯一

首先跑一次最大流，

根据最小割定理，可有推论：最小割中对于任意 $\in S,v \in T)$ 其残量 $d (u, v) = 0$ 。

那么我们根据上面对“割”的说明可得这些边相当于被删了。

所以做两次 dfs，得到 $s$ 所扩展得到的点数量 $k_1$ ， $t$ 所扩展得到的点数量 $k_2$ ，若 $k_1+k2=n$ ，则最小割唯一，反之则不是唯一的。为什么？因为这代表有的点被夹在 $\in S,v \in T)$ 之间了。

最小割送我退役，r n m，不写了！

暂时不会更新了。